位相の定義の２つの条件の意味
空でない集合$ Sの部分集合系$ \mathfrak{O}について
1. $ S\in\mathfrak{O}および$ \phi\in\mathfrak{O}
2. $ O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、$ O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}
3. $ (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を$ \mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}
を満たすとき、$ \mathfrak{O}は$ Sにおける1つの位相である、と言う
また、この部分集合系の元である集合は、この位相の開集合という
つまり、上の定義は、そのまま「開集合の定義」である
こう考えられるmiyamonz.icon
従来から知っている「ユークリッド空間における開集合」が持つ性質
及びその他の数学の世界に潜んでいた何か
を抜き出して、「位相」という構造を新たに作った
$ Oが開集合、$ \mathfrak{O}は開集合系
これの２と３の意味を把握してみる
そもそも、これは「位相の定義」なので、そういうものなんだと言ってしまえばそれで終わる
理解したつもりになるためには、なんか具体例を伴って考えるしか無い
例
実数$ \bm{R}に対して、「開区間の集合族の和集合」は位相の条件を満たす
$ \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda
ただし、$ O_\lambdaは開区間で
開区間は$ (a,b) := \{ a\lt x \lt b | x\in \bm{R} \space a,b \in \bm{R} \cup \{\pm \infty \} \} とする
これが２，３の定義に当てはまるのは定義から明らかだが、
２の条件を、有限個の場合ではなく集合族とした場合
2'. $ (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を$ \mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}
これは成立しない
$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda は閉区間の場合がある
でもそれならさらに閉区間は開区間の集合族の和集合で表せないことをさらに示さないといけないな
例
$ a_n = (-b, b) ( ただしb = 1 + \frac{1}{n} ) のような区間を考える
$ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} a_n は閉区間$ [-1,1] となる
このまま書き続けても分かりやすさが出ないな…miyamonz.icon
無理にちょうどいい具体例探すの難しいので、ユークリッド空間の素朴な例を踏まえたあとに考え直したほうが良さそう
そもそもユークリッド空間の例で開集合という言葉を使うので、これの性質を抜き出したのが位相の定義と考えればいい
かきかけ
できれば、位相が列挙できるぐらいの規模の具体例で、位相空間の定義を
1. $ S\in\mathfrak{O}および$ \phi\in\mathfrak{O}
2. $ O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、$ O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}
3. $ O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、$ O_1\cup O_2\in\mathfrak{O}
としたときに、具体的にどこに差異が出るかを確認してみたいですmrsekut.icon
これは３の条件を弱めた例ということになるmiyamonz.icon
ということは、位相空間としていろいろな諸性質が構築できなくなるはず
条件が足りないので
具体的に足りなくて困る様を指し示すのは難しいな…
それより２の条件を強めて、有限集合族ではなくて無限の集合族みたいにした場合
2'. $ (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を$ \mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば$ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}
に書き換えた場合、位相空間がwell-definedでなくなる例を示すのは簡単で、上のやり方よりかはイメージがしやすそうと思っていたmiyamonz.icon
ここらへんの、開区間の列の収束先が閉区間になるというのはまさにこれ
3. $ (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を$ \mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}
は「2個ではなく、任意個の和集合」だということを言いたい
無限の扱いをちゃんとしようとしてるから、なんかややこしい表現になっている
無限個ではなく、有限個の場合を考える
有限個の開集合$ O_1,O_2,\cdots,O_nの和集合は開集合になる
有限なので3よりゆるい
この場合、添字集合は$ \Lambda=\{1,2,\cdots,n\}ということになる
3がいってるのは開集合が無限個あったとしても、その和集合は開集合になる、ということ
つまり
ゆるい版(有限個)
$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda=O_1\cup O_2\cup\cdots\cup O_n\in\mathfrak{O}
きつい版(無限個)
$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda=O_1\cup O_2\cup\cdots\cup O_n\cdots\cup\cdots\in\mathfrak{O}
任意の2個の開集合の和集合のことでもあり、同時に任意の無限個おｎ開集合の和集合のことでもある
3を簡潔に書くと以下のようになる
$ \mathfrak{O}'\subset\mathfrak{O}\Rightarrow\bigcup_{O\in\mathfrak{O}'}O\in\mathfrak{O}
なにがわからないかわかっていなかったが、どうやら集合族がちゃんとわかってなかったぽいmrsekut.icon
あれ、駄目だ。3の意味はわかったけど、2との違いがわかってない
集合の濃度は
有限
可算（可付番） （自然数の濃度）
非加算（非可付番） （例えば実数の濃度）
の三段階に分けられるのは知っている？miyamonz.icon
単語としては知っていますが、具体的な定義はまだよくわかっていませんmrsekut.icon
あと濃度もわかっていませんmrsekut.icon
集合・位相入門を4章から読み始めているので基礎が抜け落ちています(ヨメ)..mrsekut.icon 集合の集まりを$ (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}として、
定義の条件において、集合族として集めるということは、
定義の条件３の左側
集合の個数（集合族の濃度）が非加算の場合までも考えるということを意味する
それだけ位相の定義３は強い主張をしているということになる