Kuratowskiの閉包公理系→開集合系の公理

Kuratowskiの閉包公理系$ \land \mathcal O=\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}から開集合系の公理を

Kuratowskiの閉包公理系(K1)~(K4)と(K5)

(K1)$ \bar\varnothing=\varnothing

(K2)$ \forall A:A\subseteq\bar A

(K3)$ \forall A:\bar{\bar{A}}=\bar A

(K4)$ \forall A,B:\overline{A\cup B}=\bar A\cup\bar B

(K5)$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}

から開集合系の公理(O1)~(O3)と(O4)

(O1)$ X\in\mathcal O

(O2)$ \forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O

(O3)$ \forall\mathcal O'\subseteq\mathcal O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O

(O4)$ \forall A:\overline{A}=\min\{C\in2^X\mid A\subseteq C\land X\setminus C\in\mathcal O\}

を導ける

証明

(O1)

(K1)

$ \iff\overline{X\setminus X}=X\setminus X

$ \underline{\iff X\in\mathcal O\quad}_\blacksquare

$ \because(K5)

(O2)$ \forall O_1,O_2:

$ O_1,O_2\in\mathcal O

$ \iff\overline{X\setminus O_1}=X\setminus O_1\land\overline{X\setminus O_2}=X\setminus O_2

$ \because(K5)

$ \implies\overline{X\setminus (O_1\cap O_2)}=\overline{(X\setminus O_1)\cup(X\setminus O_2)}

$ = \overline{X\setminus O_1}\cup\overline{X\setminus O_2}

$ \because(K4)

$ =(X\setminus O_1)\cup(X\setminus O_2)

$ \because\overline{X\setminus O_1}=X\setminus O_1\land\overline{X\setminus O_2}=X\setminus O_2

$ =X\setminus(O_1\cap O_2)

$ \underline{\implies O_1\cap O_2\in\mathcal O\quad}_\blacksquare

(O3)$ \forall\mathcal O':

$ \mathcal O'\subseteq\mathcal O

$ \implies\forall O\in\mathcal O':O\subseteq\bigcup\mathcal O'

$ \implies\forall O\in\mathcal O':X\setminus\bigcup\mathcal O'\subseteq X\setminus O

$ \implies\forall O\in\mathcal O':\overline{X\setminus\bigcup\mathcal O'}\subseteq\overline{X\setminus O}

$ \because(K2)

$ \implies\forall O\in\mathcal O':\overline{X\setminus\bigcup\mathcal O'}\subseteq X\setminus O

$ \because O\in\mathcal O'\subseteq\mathcal O

$ \implies\overline{X\setminus\bigcup\mathcal O'}\subseteq\bigcap_{O\in\mathcal O'}X\setminus O

$ =X\setminus\bigcup\mathcal O'

$ \subseteq\overline{X\setminus\bigcup\mathcal O'}

$ \because(K2)

$ \underline{\implies\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O\quad}_\blacksquare

(O4)

$ \forall x:

$ x\in\min\{C\in2^X\mid A\subseteq C\land X\setminus C\in\mathcal O\}

$ \iff\exist M\in2^X:\begin{dcases}x\in M\\A\subseteq M\\X\setminus M\in\mathcal O\\\forall C\in2^X:(A\subseteq C\land X\setminus C\in\mathcal O\implies M\subseteq C)\end{dcases}

$ \iff\exist M\in2^X:\begin{dcases}x\in M\\ A\subseteq\overline M=M\\\forall C\in2^X:(A\subseteq\overline C=C\implies M\subseteq C)\end{dcases}

$ \because(K5)

$ \iff\exist M\in2^X:\begin{dcases}x\in M\\ A\subseteq\overline M=M\subseteq\overline{A}\\\forall C\in2^X:(A\subseteq\overline C=C\implies M\subseteq C)\end{dcases}

$ \iff\exist M\in2^X:\begin{dcases}x\in M\\ A\subseteq\overline M=M\subseteq\overline{A}\subseteq\overline{M}\\\forall C\in2^X:(A\subseteq\overline C=C\implies M\subseteq C)\end{dcases}

$ \because閉包の性質(K2')

$ \iff\exist M\in2^X:\begin{dcases}x\in M\\ A\subseteq\overline M=M=\overline{A}\\\forall C\in2^X:(A\subseteq\overline C=C\implies M\subseteq C)\end{dcases}

$ \iff x\in\overline{A}\land\forall C\in2^X:(A\subseteq\overline C=C\implies \overline{A}\subseteq C)

$ \because(K2),(K3)

$ \iff x\in\overline{A}

$ \because閉包の性質(K2')

$ \underline{\therefore\forall A:\overline{A}=\min\{C\in2^X\mid A\subseteq C\land X\setminus C\in\mathcal O\}\quad}_\blacksquare

#2025-03-02 17:41:11

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#2025-02-02 11:46:14