Hausdorffの公理系→開集合系の公理

全近傍系$ \mathcal Nで構成した集合$ \mathcal O:=\{O\in2^X\mid\forall x\in O:O\in\mathcal N(x)\}は、開集合系の公理を満たす

Hausdorffの公理系のみでこれを示す

(O1)

$ \underline{\iff X\in\mathcal O\quad}_\blacksquare

(O2)$ \forall O_1,O_2:

$ O_1,O_2\in\mathcal O

$ \iff\begin{dcases}\forall x\in O_1:O_1\in\mathcal N(x)\\\forall x\in O_2:O_2\in\mathcal N(x)\end{dcases}

$ \implies\forall x\in O_1\cap O_2:O_1\in\mathcal N(x)\land O_2\in\mathcal N(x)

$ \implies\forall x\in O_1\cap O_2:O_1\cap O_2\in\mathcal N(x)

$ \iff O_1\cap O_2\in\mathcal O

$ \underline{\implies\forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O\quad}_\blacksquare

(O3)$ \forall\mathcal O':

$ \mathcal O'\subseteq\mathcal O

$ \iff\forall O\in\mathcal O':O\subseteq\bigcup\mathcal O'\land\forall x\in O:O\in\mathcal N(x)

$ \iff\forall O\in\mathcal O':O\in2^{\bigcup\mathcal O'}\land\forall x\in O:O\in\mathcal N(x)

$ \implies\forall O\in\mathcal O'\forall x\in O:2^{\bigcup\mathcal O'}\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing

$ \implies\forall O\in\mathcal O'\forall x\in O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal N(x)

$ \iff\forall x\in\bigcup\mathcal O':\bigcup\mathcal O'\in\mathcal N(x)

$ \iff \bigcup\mathcal O'\in\mathcal O

$ \underline{\implies\forall\mathcal O'\subseteq O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O\quad}_\blacksquare