開集合系
定義
厳密な定義
$ \tauは集合X上の開集合系である
$ :\iff \begin{dcases}X\in \tau\\\varnothing\in\tau\\\forall \mathcal{O}\subseteq\tau;\bigcup\mathcal{O}\in\tau\\\forall O_0,O_1\in\tau;O_0\cap O_1\in\tau\end{dcases}
自然言語で解説すると
$ Xと$ \varnothingを含む
積集合に関しては、有限個の集合の交わりしか成り立たないことに注意
無限個の集合の交わりは開集合でなくなる場合がある
e.g. $ \bigcap_{n\in\N}\rbrack-\frac1n,\frac1n\lbrack=\{0\}は開集合でない
単元集合って開集合じゃないのか？takker.icon 未証明
$ \mathrm{OpenSetsFamilies}:X\mapsto\{\tau\in2^X|X,\varnothing\in\tau\land\forall \mathcal{O}\subseteq\tau;\bigcup\mathcal{O}\in\tau\land\forall O_0,O_1\in\tau;O_0\cap O_1\in\tau\}\in2^{2^X}
……函数名が長いなtakker.icon
$ \mathcal O(X)という書き方を見つけたので、そちらにしたい
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