開集合系の公理→開核公理系

開集合系の公理(O1)~(O3)と(O4)

(O1)$ X\in\mathcal O

(O2)$ \forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O

(O3)$ \forall\mathcal O'\subseteq\mathcal O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O

(O4)$ A^\circ=\max(\mathcal O\cap2^A)

から開核公理系(I1)~(I3,)(I5)と(I4)

(I1) $ X^\circ =XX^∘=X

(I2) $ \forall A,B:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ∀A,B∈2^X((A∩B)^∘=A^∘∩B^∘)

(I3) $ \forall A:A^\circ\subseteq A∀A∈2^X(A^∘⊆A)

(I4)$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid O^\circ=O\}

(I5) $ \forall A:{A^\circ}^\circ=A^\circ∀A∈2^X(A^∘∘=A^∘)

を導く

(I1) $ X^\circ

$ =\max(\mathcal O\cap 2^X)

$ \because(O4)

$ =\max\mathcal O

$ \because\mathcal O\subseteq 2^X

$ = X

$ \because(O1),$ \forall A\in2^X:A\subseteq X

$ \underline{\therefore X^\circ=X\quad}_\blacksquare

(I2) $ \forall A,B\forall x:

$ x\in(A\cap B)^\circ

$ \iff\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A\cap B

$ \because(O4)

$ \implies\begin{dcases}\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A\\\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq B\end{dcases}

$ \iff x\in A^\circ\cap B^\circ

$ \because(O4)

これで(L)⊆(R)が求まった

$ \iff\exist O_1,O_2\in\mathcal O:\begin{dcases}x\in O_1\cap O_2\\O_1\subseteq A\\O_2\subseteq B\end{dcases}

$ \because(O4)

$ \iff\exist O_1,O_2\in\mathcal O:\begin{dcases}x\in O_1\cap O_2\in\mathcal O\\O_1\subseteq A\\O_2\subseteq B\end{dcases}

$ \because(O2)

$ \implies\exist O_1,O_2\in\mathcal O:\begin{dcases}x\in O_1\cap O_2\subseteq A\cap B\\O_1\cap O_2\in\mathcal O\end{dcases}

$ \implies\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A\cap B

$ \iff x\in(A\cap B)^\circ

$ \because(O4)

(R)⊆(L)も求まった

$ \underline{\therefore\forall A,B:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ\quad}_\blacksquare

(I3) $ \forall A\forall x:

$ x\in A^\circ

$ =\max(\mathcal O\cap2^A)

$ \because(O4)

$ \in2^A

$ \implies x\in A

$ \underline{\therefore\forall A:A^\circ\subseteq A\quad}_\blacksquare

(I4)$ \forall A:

$ A\in\mathcal O

$ \implies A^\circ=\max(\mathcal O\cap2^A)

$ \because(O4)

$ =\max 2^A

$ \because A\in\mathcal O

$ =A

$ \implies A\in\{O\in 2^X\mid O^\circ=O\}

ここで$ \mathcal O\subseteq 2^Xという前提を用いた

$ \implies A=A^\circ

$ \in\mathcal O

$ \because(O4)

$ \implies A\in\mathcal O

$ \underline{\therefore\mathcal O=\{O\in2^X\mid O^\circ=O\}\quad}_\blacksquare

(I5) $ \forall A\in2^X\forall x:

$ x\in{A^\circ}^\circ

$ \iff\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A^\circ

$ \because(O4)

$ \iff\exist O\in\mathcal O:\begin{dcases}x\in O\\\forall y\in O\exist O'\in\mathcal O:y\in O'\subseteq A\end{dcases}

$ \iff\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A

$ \because

$ \exist O\in\mathcal O:\begin{dcases}x\in O\\\forall y\in O\exist O'\in\mathcal O:y\in O'\subseteq A\end{dcases}

$ \implies\exist O\in\mathcal O\exist O'\in\mathcal O:x\in O'\subseteq A

$ \implies\exist O'\in\mathcal O:x\in O'\subseteq A

$ \implies\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A

$ \iff\exist O\in\mathcal O:\begin{dcases}x\in O\\\forall y\in O:y\in O\subseteq A\end{dcases}

$ \implies\exist O\in\mathcal O:\begin{dcases}x\in O\\\forall y\in O\exist O'\in\mathcal O:y\in O'\subseteq A\end{dcases}

$ y\in O\subseteq Aの$ Oに$ \exist導入して$ O'と置いた

$ \iff x\in A^\circ

$ \underline{\therefore\forall A:{A^\circ}^\circ=A^\circ\quad}_\blacksquare

関係

$ \begin{dcases}\text{(O1)}\\\text{(O4)}\end{dcases}\implies\text{(I1)}

$ \begin{dcases}\text{(O2)}\\\text{(O4)}\end{dcases}\implies\text{(I2)}

$ \text{(O4)}\implies\text{(I3)}

$ \text{(O4)}\implies\text{(I4)}

$ \text{(O4)}\implies\text{(I5)}

(O3)を使っていない？そんなことある？

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