開集合系の公理→閉集合系の公理

開集合系の公理$ \land\mathcal C=\{C\in2^X\mid X\setminus C\in\mathcal O\}から閉集合系の公理$ \land\mathcal O=\{O\in2^X\mid X\setminus O\in\mathcal C\}を示す

証明

以下、$ (X,\mathcal O)を位相空間とする

(C1)$ \underline{X\setminus X=\varnothing\in\mathcal O\quad}_\blacksquare

$ \becauseX∈O

(C2)$ \forall C_1,C_2\in\mathcal C:C_1\cup C_2\in\mathcal C

$ \because\forall C_1,C_2\in2^X:

$ C_1,C_2\in\mathcal C

$ \iff X\setminus C_1,X\setminus C_2\in\mathcal O

$ \because \mathcal C=\{C\in2^X\mid X\setminus C\in\mathcal O\}

$ \implies (X\setminus C_1)\cap(X\setminus C_2)\in\mathcal O

$ \because ∀O1,O2∈O:O1∩O2∈O

$ \iff X\setminus(C_1\cap C_2)\in\mathcal O

$ \iff C_1\cap C_2\in\mathcal C

(C3)$ \forall\mathcal C'\subseteq\mathcal C:\bigcap\mathcal C'\in\mathcal C

左から考える

$ \mathcal C'\subseteq\mathcal C

$ \iff\{O\in\mathcal O|\exist C\in\mathcal C':O=X\setminus C\}\subseteq\mathcal O

$ \implies\bigcup\{O\in\mathcal O|\exist C\in\mathcal C':O=X\setminus C\}\in\mathcal O

$ \iff\exist O\in\mathcal O\forall x:(x\in O\iff\exist C\in\mathcal C':x\in X\setminus C)

$ \iff\exist O\in\mathcal O\forall x:(x\notin O\iff\forall C\in\mathcal C':(x\in X\implies x\in C))

右からも攻めて、変形方法を考える

$ \bigcap\mathcal C'\in\mathcal C

$ \iff X\setminus\bigcap\mathcal C'\in\mathcal O

$ \iff\exist O\in\mathcal O:(x\in O\iff x\in X\setminus\bigcap\mathcal C')

$ \iff\exist O\in\mathcal O:(x\in O\iff x\in X\land x\notin\bigcap\mathcal C')

$ \iff\exist O\in\mathcal O:(x\in O\iff x\in X\land\lnot x\in\bigcap\mathcal C')

$ \iff\exist O\in\mathcal O:(x\in O\iff x\in X\land\lnot(\forall C\in\mathcal C':x\in C))

わかったtakker.icon

$ \because\forall\mathcal C'\subseteq2^X:

$ \mathcal C'\subseteq\mathcal C

$ \iff\forall C\in\mathcal C':X\setminus C\in\mathcal O

$ \iff\{O\in2^X|\exist C\in\mathcal C':O=X\setminus C\}\subseteq\mathcal O

$ \implies\bigcup\{O\in2^X|\exist C\in\mathcal C':O=X\setminus C\}\in\mathcal O

$ \because∀O'⊆O:⋃O'∈O

$ \iff\exist O\in\mathcal O\forall x:(x\in O\iff\exist C\in\mathcal C':x\in X\setminus C)

$ \iff\exist O\in\mathcal O\forall x:(x\in O\iff x\in X\land\exist C\in\mathcal C':\lnot(x\in C))

$ \iff\exist O\in\mathcal O\forall x:(x\in O\iff x\in X\land\lnot\forall C\in\mathcal C':x\in C)

$ \iff\exist O\in\mathcal O:(x\in O\iff x\in X\land x\notin\bigcap\mathcal C')

$ \iff\exist O\in\mathcal O:(x\in O\iff x\in X\setminus\bigcap\mathcal C')

$ \iff X\setminus\bigcap\mathcal C'\in\mathcal O

$ \iff\bigcap\mathcal C'\in\mathcal C

$ \because \mathcal C=\{C\in2^X\mid X\setminus C\in\mathcal O\}

閉集合系の構成

$ \forall O:

$ O\in\mathcal O

$ \iff X\setminus(X\setminus O)\in\mathcal O

$ \iff X\setminus O\in\mathcal C

$ \because \mathcal C=\{C\in2^X\mid X\setminus C\in\mathcal O\}

$ \iff O\in\{O'\in2^X\mid X\setminus O'\in\mathcal C\}

$ \underline{\therefore\mathcal O=\{O\in2^X\mid X\setminus O\in\mathcal C\}\quad}_\blacksquare

#2025-07-31 12:00:37

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