Hausdorffの公理系→Kuratowskiの閉包公理系

Hausdorffの公理系$ \land\forall A\in2^X:\overline A=\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}からKuratowskiの閉包公理系$ \land\forall x\in X:\mathcal N(x)=\{A\in2^X\mid x\in X\setminus\overline{X\setminus A}\}を導ける

証明

(K1)$ \overline{\varnothing}=\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap\varnothing\neq\varnothing\}

$ \because全近傍系による閉包作用素の構成

$ =\{x\in X\mid\bot\}

$ \underline{=\varnothing\quad}_\blacksquare

(K2)$ \forall A\in2^X\forall x:

$ x\in A

$ \iff x\in A\land\forall N\in\mathcal N(x):x\in N

$ \because∀x∈X∀N∈𝒩(x)(x∈N)

$ \implies\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing

$ \iff x\in\overline{A}

$ \because全近傍系による閉包作用素の構成

$ \underline{\therefore\forall A\in2^X:A\subseteq\overline{A}\quad}_\blacksquare

(K3)$ \forall A\in2^X\forall x:

$ x\in\overline{\overline{A}}

$ \iff\forall N\in\mathcal N(x):N\cap\overline{A}\neq\varnothing

$ \iff\forall N\in\mathcal N(x)\exist y\in N\forall O\in\mathcal N(y):O\cap A\neq\varnothing

ここからがわからんなtakker.icon

(K4)$ \forall A,B\in2^X\forall x:

$ x\in\overline{A\cup B}

$ \iff\forall N\in\mathcal N(x):N\cap(A\cup B)\neq\varnothing

$ \because全近傍系による閉包作用素の構成

$ \iff\forall N\in\mathcal N(x):\begin{dcases}N\cap A\neq\varnothing\\N\cap B\neq\varnothing\end{dcases}

$ \iff x\in\overline{A}\cup\overline{B}

$ \because全近傍系による閉包作用素の構成

$ \underline{\therefore\forall A,B\in2^X:\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\quad}_\blacksquare

閉包の構成

$ \forall A\in2^X\forall x:

$ x\in\overline{A}

$ \iff x\notin X\setminus\overline{X\setminus (X\setminus A)}

$ \iff X\setminus A\notin\mathcal N(x)

$ \iff x\in X\land X\setminus A\notin\mathcal N(x)

$ \iff x\in X\land 2^{X\setminus A}\cap\mathcal N(x)=\varnothing

$ \because∀x∈X(⟨𝒩(x)⟩X⊆𝒩(x))

$ \iff x\in X\land\lnot\exist N\in\mathcal N(x):N\in2^{X\setminus A}

$ \iff x\in X\land\forall N\in\mathcal N(x):N\notin2^{X\setminus A}

$ \iff x\in X\land\forall N\in\mathcal N(x):N\nsubseteq X\setminus A

$ \iff x\in X\land\forall N\in\mathcal N(x):\lnot(X\setminus A=(X\setminus A)\cup N)

$ \iff x\in X\land\forall N\in\mathcal N(x):\lnot(A=X\setminus((X\setminus A)\cup N))

$ \iff x\in X\land\forall N\in\mathcal N(x):\lnot(A=A\cap (X\setminus N))

$ \iff x\in X\land\forall N\in\mathcal N(x):\lnot(A\subseteq X\setminus N)

$ \iff x\in X\land\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing

$ \iff x\in\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}

$ \underline{\implies\forall A\in2^X:\overline A=\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}\quad}_\blacksquare

間違えた、示すのは閉包による全近傍系の構成のほうだったtakker.icon

全近傍系の構成

$ \forall x\in X\forall A:

$ x\in X\setminus\overline{X\setminus A}\land A\in2^X

$ \iff x\in X\setminus\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap(X\setminus A)\neq\varnothing\}\land A\in 2^X

$ \because全近傍系による閉包作用素の構成

$ \iff x\in X\setminus\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\setminus A\neq\varnothing\}\land A\in 2^X

$ \iff\begin{dcases}\exist N\in\mathcal N(x):N\setminus A=\varnothing\\A\in2^X\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}\exist N\in\mathcal N(x):N\subseteq A\\A\in2^X\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}2^A\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing\\A\in2^X\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}2^A\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing\\A\in\mathcal N(x)\end{dcases}

$ \because∀x∈X(⟨𝒩(x)⟩X⊆𝒩(x))

$ \iff A\in\mathcal N(x)

$ \underline{\therefore\forall x\in X:\mathcal N(x)=\{A\in2^X\mid x\in X\setminus\overline{X\setminus A}\}\quad}_\blacksquare

(K3)以外は、filter場の性質である∀x∈X∀N∈𝒩(x)(x∈N)と∀x∈X(⟨𝒩(x)⟩X⊆𝒩(x))、および閉包作用素の構成だけで導出できることがわかる。

(K3)を抜いた条件の閉包を擬閉包と呼ぶ

$ \overline{A}= X\setminus\{x\in X\mid X\setminus A\in\mathcal N(x)\}で示したほうが簡潔

$ \begin{dcases}x\in X\setminus\overline{X\setminus A}\\A\in2^X\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}x\in \{x\in X\mid X\setminus(X\setminus A)\in\mathcal N(x)\}\\A\in2^X\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}x\in \{x\in X\mid A\in\mathcal N(x)\}\\A\in2^X\end{dcases}

$ \underline{\iff A\in\mathcal N(x)\quad}_\blacksquare

この定義からなら(K3)を示しやすいかも

(K3)$ \forall A\in2^X:

$ \overline{\overline{A}}=\overline{X\setminus\{x\in X\mid X\setminus A\in\mathcal N(x)\}}

$ =\overline{\{x\in X\mid X\setminus A\notin\mathcal N(x)\}}

$ =X\setminus\{x\in X\mid X\setminus\{x\in X\mid X\setminus A\notin\mathcal N(x)\}\in\mathcal N(x)\}

$ =X\setminus\{x\in X\mid\{x\in X\mid X\setminus A\in\mathcal N(x)\}\in\mathcal N(x)\}

$ =\{x\in X\mid\{x\in X\mid X\setminus A\in\mathcal N(x)\}\notin\mathcal N(x)\}

∀x∈X∀N1∈𝒩(x)∃N2∈𝒩(x)∀y∈N2(N1∈𝒩(y))をどこかで使うはず

2026-03-11 17:25:42 わからん！

#2026-03-11 16:44:43

#2026-02-26 18:40:00

#2025-02-06 17:59:07

#2025-02-03 21:57:56

#2025-01-27 17:01:16