單體的複體
simplicial complex。複體 (complex)
標準單體 (standard simplex)$ \varDelta^n ,$ \varDelta[n]
$ \varDelta^n:=\{(x_1,\dots,x_n)|0\le x_0\le\dots\le x_n\le 1\}\subset\R^n
$ \varDelta^n([k])=\varDelta([k],[n])
$ \varDelta^n=\varDelta(\_,[n])
$ \varDelta^n\in|{\bf sSet}|
特異單體 (singular simplex)$ \sigma_n:\varDelta^n\to X
位相空閒$ Xに對して標準單體からの連續寫像$ \sigma_n:\varDelta^n\to Xを特異 n-單體と呼ぶ 境界 (boundary)$ \partial S
$ \partial S=\bar S\setminus S^\circ
$ \partial\partial\partial S=\partial\partial S\subseteq\partial S
$ \partial\varDelta^n
$ \partial\varDelta^n\subset\varDelta^n
餘等化子$ \coprod_{0\le i<j\le n}\varDelta[n-2]\rightrightarrows\coprod_{0\le i\le n}\varDelta[n-1]\to\partial\varDelta[n] 抽象單體的複體 (abstract simplicial complex)$ (V,\varDelta) 集合$ Vの有限部分集合の族$ \varDelta_{\subset 2^V}が以下を滿たすならば組$ (V,\varDelta)を抽象單體的複體と呼ぶ $ X\in Vならば$ \{X\}\in\varDelta
$ X\in\varDeltaかつ$ Y\subset Xならば$ Y\in\varDelta
$ Vは頂點 (0-單體) の集合に當たる
濃度$ nの要素$ Xの次元は$ \dim X=n-1
$ Y\subset Xは面關係に當たる
空單體$ \varnothing\in\varDelta
$ \dim\varnothing=-1
$ \dim\varDelta=\max\{\dim X|X\in\varDelta\}
鎖複體$ \dots\to A_{n+1}\xrightarrow{\partial_{n+1}}A_n\xrightarrow{\partial_n}A_{n-1}\to\dots ←→餘鎖複體$ \dots\to A^{n-1}\xrightarrow{\partial^{n-1}}A^n\xrightarrow{\partial^n}A^{n+1}\to\dots 曖昧さ囘避「simplicial category」
單體圈 (simplex category。simplicial indexing category)$ \varDelta 對象は全順序$ [n]:=\{0<1<\dots<n\} 。$ |\varDelta|=\{[n]|n\in\N\} $ [n] は順序數の標準的な構成では$ n+1を表す $ [1] は區閒圈$ \varDelta[1] と同じ 射は以下の射から生成できる
面寫像 (face map。inclusion)$ \delta^{n,i}:[n-1]\to[n] ,$ 0\le i\le n
對象$ [n] に對して、單射$ \delta^{n,i}:[n-1]\to[n] ,$ 0\le i\le nを、$ iを省略する單調函數$ \delta^{n,i}(m)=\begin{cases}m & m<i\\ m+1 & m\ge i\end{cases}と定める 退化寫像 (degeneracy map。projection)$ \sigma^{n,i}:[n+1]\to[n] ,$ 0\le i\le n
對象$ [n] に對して、全射$ \sigma^{n,i}:[n+1]\to[n] ,$ 0\le i\le nを、$ iへ重複する單調函數$ \sigma^{n,i}(m)=\begin{cases} m & m\le i \\ m-1 & m>i \end{cases}と定める これらは等式 (simplicial identities) を滿たす事がわかる
圈の圈の單體的對象$ \varDelta^{\rm op}\to{\bf Cat} 單體的豐饒圈 (simplicially enriched category) 單體的集合の圈$ {\bf sSet}=[\varDelta^{\rm op},{\bf Set}] に於いて、$ \varDelta_{\le n} を單體圈$ \varDelta=\{[0],[1],\dots\} の部分圈$ \varDelta_{\le n}:=\{[0],[1],\dots,[n]\}\subset\varDelta とする。$ {\bf sSet}_{\le n}:=[{\varDelta_{\le n}}^{\rm op},{\bf Set}] とする。忘卻函手$ i_*:{\bf sSet}\to{\bf sSet}_{\le n} には隨伴三幅對$ i^*\dashv i_*\dashv i^!が在る。$ {\rm sk}_n(K):{\bf sSet}\to{\bf sSet}:=(i_*;i^*)(K)を$ n-骨格 (圈)と言ひ、$ {\rm cosk}_n(K):{\bf sSet}\to{\bf sSet}:=(i_*;i^!)(K)を$ n-餘骨格と言ふ 圈$ \bf Cに對して、同型な對象はその內一つを殘し、他の射は全て殘した部分圈$ {\rm Skel}({\bf C})\subset{\bf C}を言ふ 圈同値$ {\bf C}\simeq{\rm Skel}({\bf C})に成る 圈同値な圈$ {\bf C}\simeq{\bf D}の骨格 (圈)は同型$ {\rm Skel}({\bf C})\cong{\rm Skel}({\bf D})である 單體的對象 (simplicial object)$ \varDelta^{\rm op}\to{\bf C} 單體的集合 (simplicial set)$ \varDelta^{\rm op}\to{\bf Set} 單體圈$ \varDeltaから集合の圈$ \bf Setへの反變函手$ X:\varDelta^{\rm op}\to{\bf Set} 自然數で添へ字附けられた集合$ X_nの集まり$ \{X_n|n\in\N,n\ge 0\} 面寫像 (face map)$ d_{n,i}:X_n\to X_{n-1},$ 0\le i\le n
單體圈の面寫像$ \delta^{n,i}に對應する$ X(\delta^{n,i})=d_{n,i} 鎖複體の$ \partial_n:X_n\to X_{n-1}に對應する 退化寫像 (degeneracy map)$ s_{n,i}:X_n\to X_{n+1},$ 0\le i\le n
單體圈の退化寫像$ \sigma^{n,i}に對應する$ X(\sigma^{n,i})=s_{n,i} 餘鎖複體の$ \partial^n:X_n\to X_{n+1}に對應する 以下の等式 (simplicial identities) を滿たす
$ d_{n-1,i}\circ d_{n,j}=d_{n-1,j-1}\circ d_{n,i}if$ i<j
$ s_{n+1,i}\circ s_{n,j}=s_{n+1,j}\circ s_{n,i-1}if$ i>j
$ d_{n+1,i}\circ s_{n,j}=\begin{cases} s_{n-1,j-1}\circ d_{n,i} & i<j \\ {\rm id} & i=j\lor i=j+1 \\ s_{n-1,j}\circ d_{n,i-1} & i>j+1 \end{cases}
$ \forall n_{\in\N}~\varnothing_n=\varnothing
$ {\bf sSet}\cong[\varDelta^{\rm op},{\bf Set}]
※單體圈$ \varDelta を一般の圈に置き換へれば前層$ [{\bf C}^{\rm op},{\bf Set}] になるね 例
單體的多樣體 (simplicial manifold)
單體的集合$ C:\varDelta\to{\bf Set} であって、$ n -單體 (simplex)$ \varDelta[n] の全ての$ k -角體 (horn)$ \Lambda^k[n] の射$ f:\Lambda^k[n]\to X が filler (包含寫像を通した擴張 (射))$ \tilde f:\varDelta[n]\to X を持つものを Kan 複體と呼ぶ 擬圈 (quasi-category。準圈。弱 Kan 複體 (weak Kan complex)) 全ての內部角體$ f:\Lambda^k[n]\to X ,$ 0<k<n が filler (包含寫像を通した擴張 (射))$ \tilde f:\varDelta[n]\to X を持つ $ \varDelta[0] が對象
$ \varDelta[1] が射
以後$ \varDelta[n] は$ \varDelta[n-1] の homotopy 通常の圈の脈體 (nerve)$ N({\cal C})は、擬圈のうち「全ての內部角體の充塡が一意に定まる」ものに對應します。 角體 (horn) (horn。box)$ \Lambda^k[n] ,$ {\Lambda^n}_k $ \Lambda^k[n]:=\bigcup_{i\ne k}\delta^{n,i}(\varDelta[n-1])
$ \Lambda^k[n]\subset\varDelta[n]
包含寫像$ {i^n}_k:\Lambda^k[n]\hookrightarrow\varDelta[n]
$ k\in\{0,n\} である$ \Lambda^k[n] を外部角體 (outer horn)、$ 0<k<n である$ \Lambda^k[n] を內部角體 (inner horn) と呼ぶ
角體充塡 (horn filler)
$ X\in|{\bf sSet}| に對して、角體 (horn)$ f:\Lambda^k[n]\to X の充塡とは、可換圖式$ \Lambda^k[n]\xrightarrow{f}X\xrightarrow{p}1\xleftarrow{}\varDelta[n]\xleftarrow{{i^n}_k}\Lambda^k[n] の擴張 (射)$ \tilde f:\varDelta_n\to X を言ふ 幾何學的實現 (geometric realization)