內部圈 - .｡oO(さっちゃんですよヾ(〃l

內部圈

internal category。圈對象 (category object)

圈$ \bf Cが有限完備であるとする。對象$ {\rm Ob}\in|{\bf C}|,$ {\rm Hom}\in|{\bf C}|と射$ {\rm dom}:{\rm Hom}\to{\rm Ob},$ {\rm cod}:{\rm Hom}\to{\rm Ob},$ {\rm id}:{\rm Ob}\to{\rm Hom},$ ;:{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\to{\rm Hom}の組は、以下を滿たせば內部圈と呼ぶ

※有限完備であるから以下の引き戾しを持つ

$ {\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{p_1}{\rm Hom}\xrightarrow{\rm cod}{\rm Ob}\xleftarrow{\rm dom}{\rm Hom}\xleftarrow{p_2}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}

$ ({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{\pi_2}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{{\rm cod}\circ;}{\rm Ob}\xleftarrow{\rm dom}{\rm Hom}\xleftarrow{\pi_3}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}

$ {\rm Hom}\times_{\rm Ob}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\xrightarrow{\pi_4}{\rm Hom}\xrightarrow{\rm cod}{\rm Ob}\xleftarrow{{\rm dom}\circ;}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xleftarrow{\pi_5}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})

$ {\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}の引き戾し圖式に對して、$ ({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}の引き戾し圖式から

$ ({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{\pi_2}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{\pi_1}{\rm Hom}\xrightarrow{\rm cod}{\rm Ob}\xleftarrow{\rm dom}{\rm Hom}\xleftarrow{{\rm id}_{\rm Hom}}{\rm Hom}\xleftarrow{\pi_3}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}に於いて$ ({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{\pi_1\times_{\rm Ob}{\rm id}_{\rm Hom}}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}が一意に存在する

$ {\rm Hom}\times_{\rm Ob}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})の引き戾し圖式に對して、$ ({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}の引き戾し圖式から

$ ({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{\pi_2}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{\pi_0}{\rm Hom}\xrightarrow{\rm cod}{\rm Ob}\xleftarrow{\rm dom}{\rm Hom}\xleftarrow{\pi_0}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xleftarrow{\pi_1\times_{\rm Ob}{\rm id}_{\rm Hom}}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}に於いて$ ({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{(\pi_0\circ\pi_2,\pi_1\times{\rm id}_{\rm Hom})}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})が一意に存在する

可換圖式 (恆等射の存在)

$ {\rm Ob}\xrightarrow{\rm id}{\rm Hom}\xrightarrow{\rm dom}{\rm Ob}\xleftarrow{{\rm id}_{\rm Ob}}{\rm Ob}

$ {\rm Ob}\xrightarrow{\rm id}{\rm Hom}\xrightarrow{\rm cod}{\rm Ob}\xleftarrow{{\rm id}_{\rm Ob}}{\rm Ob}

可換圖式 (合成射の存在)

$ {\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{;}{\rm Hom}\xrightarrow{\rm dom}{\rm Ob}\xleftarrow{\rm dom}{\rm Hom}\xleftarrow{p_1}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}

$ {\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{;}{\rm Hom}\xrightarrow{\rm cod}{\rm Ob}\xleftarrow{\rm cod}{\rm Hom}\xleftarrow{p_2}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}

可換圖式 (合成射の結合律)

$ ({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{(\pi_0\circ\pi_2,\pi_1\times{\rm id}_{\rm Hom})}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\xrightarrow{{\rm id}_{\rm Hom}\times_{\rm Ob};}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{;}{\rm Hom}\xleftarrow{;}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xleftarrow{;\times_{\rm Ob}{\rm id}_{\rm Hom}}({\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom})\times_{\rm Ob}{\rm Hom}

可換圖式 (恆等射の單位律)

$ {\rm Ob}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{{\rm id}\times_{\rm Ob}{\rm id}_{\rm Hom}}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{;}{\rm Hom}\xleftarrow{p_2}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}

$ {\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Ob}\xrightarrow{{\rm id}_{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm id}}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}\xrightarrow{;}{\rm Hom}\xleftarrow{p_1}{\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}

內部圈を考へる外の圈を ambient 圈 (ambient category) と呼ぶ

ambient category in nLab

$ \rm idを identity-assigning morphism と呼ぶ

identity-assigning morphism in nLab

集合の圈$ \bf Setの內部圈は通常の小さな圈である

圈の定義とも見做せる

圈の圈$ \bf Catの內部圈は二重圈である

$ \rm Obが終對象である內部圈は monoid 對象である

引き戾し$ {\rm Hom}\times_{\rm Ob}{\rm Hom}は積 (圈)$ {\rm Hom}\times{\rm Hom}に等しくなる

$ \Doteq豐饒圈