雑に読む『圏論の道案内』

圏論は最近人気がある数学の分野の１つで，その考え方はプログラミング，人工知能，物理など幅広い分野に応用されています。本書はそんな圏論を一から知りたい人に，圏論とは何かをわかりやすく解説していきます。

cFQ2f7LRuLYP.iconの目標:自然変換のところまで読む

折角なので借りてみたtakker.icon

本の構成

対話形式

各節の最後にまとめがあるので、それだけ読めば定義は把握できる

1章

関連書籍

ソーンダース・マックレーン『数学：その形式と機能』

『圏論の歩き方』

『ベーシック圏論普遍性からの速習コース』

圏論とは？

「異なるものの間の同じさ」をシステマティックに扱う数学的な枠組み

p.7

2章

①圏の定義１：対象と射、域と余域

圏 (category) は対象 (object) と射 (arrow, morphism) とからなるある種のシステム p.18

対象も射も、圏の公理を満たしている限り何でも良い

圏の公理って何？cFQ2f7LRuLYP.icon

結合律と単位律

本によっては恒等射も

ほかに圏のパーツとなるものがあるので書いていく

圏のパーツ

対象

射

イメージで言うと矢印

何かから何かに向いたその道筋みたいなものcFQ2f7LRuLYP.icon

例：のぞみ号の駅

博多→小倉→広島→岡山→新神戸→新大阪→京都→名古屋→新横浜→品川→東京

上の矢印が「射」、各駅が「対象」にあたる

射の定義

射には必ず域と余域がある

上の博多→小倉だと、cFQ2f7LRuLYP.icon

domainは博多

codomainは小倉

$ 博多 \overset{f}{\to} 小倉\overset{g}{\to}広島\overset{h}{\to}岡山\overset{i}{\to}新神戸

対象と対象の間にどれだけ射があるかとかは関係ない

一つの場合もあるし、複数の場合も、無限にある場合もある

0の場合もあるよnishio.icon

射の定義

https://gyazo.com/84e43693a2b9b24401fb9e37c53eff57

「集まり」は空になりえるから

いや待てよ？恒等射が必ずあるか？

いや違うな、相異なる対象の間には恒等射はないからな

博多から小倉に行くのぞみは平日44本あったcFQ2f7LRuLYP.icon

博多から小倉（福岡）（新幹線のぞみ） - 時刻表 - ジョルダン

仮に「博多から小倉への平日ののぞみ」を射$ fとすると、44本の射が作れる

これが可換に関係していたtakker.icon

合成

射$ f,gについて、$ {\rm cod}(f)={\rm dom}(g)であるなら、$ f,gの合成 (composition) と呼ばれる $ {\rm dom}(f)から$ {\rm cod}(g)への射が一意に存在する。これを$ g\circ fと書く。

p.24

ふたたびこれで見てみる$ 博多 \overset{f}{\to} 小倉\overset{g}{\to}広島\overset{h}{\to}岡山\overset{i}{\to}新神戸

このとき$ {\rm cod}(f)=小倉、$ {\rm dom}(g)=小倉であるので、博多から広島への射が一意に存在する

これが$ g\circ f

$ 博多 \overset{g\circ f}{\longrightarrow}広島

射の合成の図

https://plantuml-proxy.vercel.app/svg/https://scrapbox.io/api/code/villagepump/射の合成の図/composition.pu#.svg

矢印で考えるとfしてからgするのになんで$ f \circ g じゃなくて $ g \circ f なんだろという気持ちになるけど、関数で考えると $ (g \circ f)(x)=g(f(x)) なんだよねnishio.icon

射の合成記号$ g\circ fはグラフと逆になって混乱しがちなので、$ f;gもしくは$ f⨟gを使うといいかもtakker.icon

$ a\overset{f}{\to}b\overset{g}{\to}cは$ a\overset{f⨟g}\to cと書ける

いや、本に頻出する記法に慣れる方が優先でしょう。同じものの二通りの表現方法の本が使わない方を使うと混乱が深まるnishio.icon

たしかにtakker.icon

またこの本では、図式を左右反対にする事で対処してて、うまいやり方だとおもったtakker.icon

code:rtf-composition.pu

@startdot

digraph associative {

rankdir = RL;

node fontsize = 11, shape = circle, style=rounded ;

s1 label="博多";

s2 label="小倉";

s3 label="広島";

s1 -> s2 label="f"

s2 -> s3 label="g"

s1 -> s3 label="g∘f"

}

@enddot

図式を逆にする方式で書き換えるとこうかな：

ふたたびこれで見てみる$ 新神戸\overset i\gets岡山\overset h\gets広島\overset g\gets小倉\overset f\gets博多

このとき$ {\rm cod}(f)=小倉、$ {\rm dom}(g)=小倉であるので、博多から広島への射が一意に存在する

これが$ g\circ f

$ 広島\overset{g\circ f}{\longleftarrow}博多

下りにするともっと良さそうcFQ2f7LRuLYP.icon

博多←小倉←広島←...←東京

なるなるtakker.icon

結合律

射$ f,g,hについて、$ {\rm cod}(f)={\rm dom}(g)かつ$ {\rm cod}(g)={\rm dom}(h)であるなら$ h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ fである。言い換えれば

（図式）

は可換である。この関係式を結合律 (associative law) と呼ぶ。

p.29

ここで射に対する「等しい」が使われてるねnishio.icon

射の等しさの定義

可換な図式を可換図式と呼ぶ

結合律の図

https://plantuml-proxy.vercel.app/svg/https://scrapbox.io/api/code/villagepump/結合律の図/associative.pu#.svg

code:associative.mmd

graph RL

A((A)) -- f --> B((B))

B -- g --> C((C))

A -- g∘f --> C

B -- h∘g --> D

C -- h --> D((D))

可換とは？cFQ2f7LRuLYP.icon

写像の定義で考えるとかなり謎takker.icon

可換でない写像は考えられないから

可換でない図式をしりたい

p.28に書いてあった

なにも理解してなかった反省

AからBへの射は複数あってもいい。対象と対象の間にどれだけ射があるかとかは関係ない雑に読む『圏論の道案内』#659fe4975e90c00000cb2b48

写像でもおなじ

だから始域と終域が等しくても、同じ射だとは限らない

ところで図式ってなんだろう？cFQ2f7LRuLYP.icon

西郷＜射の合成を定義したから、合成できればなんでも良いわけではないという話をしよう。だがその前に、圏論といったらこれ、というほど頻出する「図式」というものを説明しておくことにする。厳密に定義しようとするとなかなか奥深い概念なのだが、ひとまずは「対象と射の関係を図示したものを図式（diagram）と呼ぶ」と捉えてくれ。

p.27

はい

単位律

$ \forall Aに対して以下の条件を満たす射$ iが一意に存在する

1. $ {\rm dom}i={\rm con}i=A

2. $ \forall f,gについて

1. $ i\circ f=f

2. $ g\circ i=g

この条件は、以下の図式が可換図式であることと同値である

code:identify.mmd

graph RL

Y((Y)) -- f --> A1

A1((A)) -- i --> A2((A))

Y -- i∘f --> A2

A1 -- g∘i --> X

A2 -- g --> X((X))

code:こっちのほうがわかりやすいかも.mmd

graph RL

Y((Y)) -- f --> A((A))

A -- i --> A

Y -- i∘f --> A

A -- g∘i --> X

A -- g --> X((X))

このとき$ iを$ Aの恒等射と呼ぶ

$ 1_Aと書くことにする

これは恒等写像と同じ記法

この演算則を単位律と呼ぶ

$ {\rm dom}f={\rm con}fだけでは恒等射にならないことに注意takker.icon

例えば集合圏$ \bf SETの射$ f:\underbrace\N_{始域}\ni n\mapsto 2n\in\underbrace\N_{終域}は$ {\rm dom}f=\N={\rm con}fだが恒等射ではない

問題：恒等射の一意性を証明せよ

5行くらいでできるnishio.icon

ひえーcFQ2f7LRuLYP.icon

もしも恒等射がたくさんあったらと考える？

恒等射の一意性(ネタバレ注意)nishio.icon

やってみたんだけど、この問題文って「存在するなら一意であることを示せ」じゃなくてOK？

「存在すること」を使わずに「存在すること」を証明するのは無理じゃない？

/icons/hr.icon

逆射

対象$ Aから$ Bへの射$ fが可逆 (invertible)であるとは、対象$ Bから$ Aへの射$ gで$ g\circ f = 1_Aかつ$ f\circ g = 1_Bをみたすものが存在するときにいう。このとき$ gを$ fの逆射 (inverse)、あるいは単に逆と呼び、$ f^{-1}と書く。可逆な射を同型射 (isomorphism) と呼ぶ。対象$ Aから$ Bへの射が同型射であるとき、$ Aと$ Bといは同型 (isomorphic) であるといい、$ A\cong Bと書く。

p.37

さてどういうことだcFQ2f7LRuLYP.icon

code:inverse.mmd

graph RL

A1((A))-- f -->B1

B1((B))-- g --> A1

A1-- 1A -->A1

B1-- 1B -->B1

こういう図があるとするcFQ2f7LRuLYP.icon

$ g\circ fはどうなるかっていうと

$ {\rm dom} (g) ={\rm cod} (f)=B, んで$ {\rm dom} (f) =\ {\rm cod} (g)=Aなので合成できる（下のnishioさんの指摘で直し済み）

合成の定義を確認するnishio.icon

$ {\rm dom} (g) = {\rm cod} (f) = Bで$ {\rm dom} (f) = {\rm cod} (g) = Aなので合成できる

これで$ g\circ fができる

域と余域はどうなったか

しかし$ g\circ fとは$ 1_Aか？

$ f,gに$ g \circ fを合成しても元通りになることをいえばいい

思い出しタイム

2. $ \forall f,gについて

1. $ i\circ f=f

2. $ g\circ i=g

追記：この下も書き方を大いに間違えている

$ fに$ g \circ fを合成すると

$ {\rm dom} (f) \ {\rm cod} (f)に$ {\rm dom} (a) \ {\rm cod} (b)を合成

これは$ {\rm dom} (a) \ {\rm cod} (b)になる、すなわち$ fである、もとと変わんない

gfにgを合成すると

dom b cod a に dom a cod aを合成

これもdom b cod aのまま、すなわちgだ

なのでgfは1aと同じはたらきだ！

今度はこれをfgでやるのか..cFQ2f7LRuLYP.icon

射$ fが可逆とは...をみたすものが存在するときにいう。なので、存在しない可能性がありますnishio.icon

というか一般的には存在しないのでここまでの定義から導出はできないかと。

むむむ...cFQ2f7LRuLYP.icon

例題を出そうと思ったけどまだ圏の具体例があんまりないから逆写像の有無の話になっちゃったな...nishio.icon

あんまり良くないかもしれない

問1: 偶数から奇数への射 $ f(x) = x + 1 は可逆か？

偶数から奇数の射f(x)=x+1は可逆か？

問2: 実数から整数への射「切り捨て」は可逆か？

対象$ Aから$ Bへの射$ fが可逆 (invertible)であるとは、対象$ Bから$ Aへの射$ gで$ g\circ f = 1_Aかつ$ f\circ g = 1_Bをみたすものが存在するときにいう。

まずfがあるcFQ2f7LRuLYP.icon

域はA、余域がB

このfが可逆であるためには次の条件が必要

BからAの射gで、gf=1_Aかつfg=1_Bをみたすものが存在する

gfはfとgの合成、fgはgとfの合成

1_Aは対象Aの恒等射、1_Bは対象Bの恒等射

困ったときのひらがな圏を頼ろう

対象:ひらがな

射:ある文字から次の文字に行く操作

合成:文字列

ひと、とりを合成してひとりにする

恒等射:１文字のひらがな

結合律:例えばひ（とり）と（ひと）りを同じものとみなす

単位律:...?

ここがまだよくわかってなさそう

逆写像に相当する概念

$ fが可逆である$ :\iff$ \exist g;{\rm dom}f={\rm con}g\land{\rm dom}g={\rm con}f

インデント的に圏のパーツみたいになってるけど違うよねnishio.icon

Yes、これは圏の定義の中には入っていないcFQ2f7LRuLYP.icon

水を差すぞいcFQ2f7LRuLYP.icon

もろもろは大丈夫ですか！

大丈夫くない。田中賞を受賞した橋梁の選考理由から当時の日本の時代背景を推測する作業があるtakker.icon

離脱！！！！

圏論の説明助かりました！良き課題進行を願いております！cFQ2f7LRuLYP.icon

2024/01/17も先置きで水差ししておく

ウケるnishio.icon

monoid、群

ひらがな圏ゆる圏 Youtube.icon

要約だけ読めて助かるnishio.icon

書籍の要約サービスか！？はるひ.icon

修正助かるcFQ2f7LRuLYP.icon

\rm、あと小さい丸

∘はIMEで入力しにくいので、そんなに気にしなくていいですよtakker.icon

はいcFQ2f7LRuLYP.icon

借りた初日に完全に理解したけど、何でこんなのを定義したのかわからなかったので、まだ何もわからないには至っていないtakker.icon

雑に読むとはcFQ2f7LRuLYP.icon

雑に読んでいいのよnishio.icon

雑に読まない人がツッコミを入れる()

「雑に読まない人」の表現は違う気がした

「雑に読まない人」

雑でない読み方をしてる人: 今回の僕は読んでないのでこれじゃない

本を読まない人: これは正しい

本を読まないで、本を読んだ人の書いた文章の整合性を検証する人: これっぽい