群
数学における群（ぐん、英: group）とは、ある二項演算とその対象となる集合とを合わせて見たときに結合性を伴い単位元と逆元を備えるものをいう。
群_(数学) - Wikipedia
群の定義
ある集合$ \underline Gとその上で定義された二項演算$ *_G:\underline G\times\underline G\to\underline Gの組$ G=(\underline G,*_G)で、以下を満たすものを群と呼ぶそうだtakker.icon
cf. $ \underline\bullet：$ \bulletの台集合
以下、ポーランド記法だと見にくいので中置記法で$ *_Gを書くことにする
1. 結合法則：$ \forall a,b,c\in\underline G.(a*_Gb)*_Gc=a*_G(b*_Gc)
2. 単位元の存在：$ \exist i\in\underline G\forall a\in\underline G.a*_Gi=i*_Ga=a
$ iは存在すれば一意であり、これを単位元と呼ぶ
群$ Gに対して一意に存在する
加法単位元の場合は$ 0、乗法単位元の場合は$ 1という記法がよく使われる
以下、この単位元を$ i_Gとする
逆元の存在：$ \forall a\in\underline G\exist A\in\underline G.a*_GA=A*_Ga=i_G
$ aに対して$ Aは一意に存在することを証明できる
この$ Aを$ aの逆元とよぶ
乗法逆元の場合は$ a^{-1}、加法逆元の場合は$ -aとよく表される
書き出してみると、よく目にする構造だとわかったtakker.icon
もう少し条件多かった気がしたが、そんなことはなかった
派生
単なる集合とその二項演算の組をmagmaと呼ぶ
magma+1.結合法則=半群
半群 + 2.単位元の存在=monoid
圏にかなり似ているが、二項演算を仮定しない点が違うtakker.icon
いや、射の合成が二項演算なのでは？nishio.icon
合成のほうをそう捉えればいいかーtakker.icon
いや、だめだ。$ {\bf A}(B,C)\times{\bf A}(A,B)\ni (f,g)\xmapsto{\circ}f\circ g\in{\bf A}(A,C)で入力と出力の射の類がすべて別の型だから、二項演算にならない
対象が一つしかない圏ならどれも$ {\bf A}(A,A)になるので、二項演算になる
なるほどnishio.icon
対象が一つしかない圏はmonoidと実質等しいにつながる
monoid + 3.逆元の存在=群
群 + 4.交換法則=Abel群(アーベル群、可換群)
可換群という呼び名がわかりやすそうtakker.icon
包含関係は可換群→群→monoid→半群→magmaかtakker.icon
4. 交換法則：$ \forall a,b\in\underline G.a*_Gb=b*_Ga