対象が一つしかない圏はmonoidと実質等しい

圏$ \bf Aの定義と満たすべき条件は

$ {\bf A}=({\rm ob}({\bm A}),{\bf A}(\bullet,\bullet),\bullet\circ\bullet)

$ \forall A,B,C,D\in{\rm ob}({\bf A})\forall f\in{\bf A}(B,A)\forall g\in{\bf A}(C,B)\forall h\in{\bf A}(D,C).(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)

$ \forall A\in{\rm ob}({\bf A})\exist i\in{\bf A}(A,A)\forall B\in{\rm ob}({\bf A})\forall f\in{\bf A}(A,B)\forall g\in{\bf A}(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=g

monoid$ Mの定義と満たすべき条件は

$ M=(\underline M,\bullet*\bullet)

$ \forall f,g,h\in\underline M.(f*g)*h=f*(g*h)

$ \exist i\in\underline M\forall f\in\underline M.i*f=f=f*i

非常に似ていることがおわかりいただけるだろうtakker.icon

ここで、圏の対象に$ A一つしかないとすると

射の類は$ {\bf A}(A,A)一つに限定され

射の合成も$ \circ:{\bf A}(A,A)\times{\bf A}(A,A)\to{\bf A}(A,A)一つに限定される

圏の満たすべき条件は↓になる

$ \forall f,g,h\in{\bf A}(A,A).(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)

$ \exist i\in{\bf A}(A,A)\forall f\in{\bf A}(A,A).i\circ f=f=f\circ i

これは、$ ({\bf A}(A,A),\circ) がmonoidであることを意味する

以上より、対象が$ Aしかない圏$ \bf Aについて、$ ({\bf A}(A,A),\circ)がmonoidであることを示せた

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