関手の定義
A function between categories which maps objects to objects and morphisms to morphisms.
定義はちょい違う
圏$ \bf Aから圏$ \bf Bへの函手を$ F:{\bf A}\to{\bf B}と書き、次のように定義する
構成方法
いろいろありそう
オーバーロード方式
どちらの写像も$ Fという記号を使う
1番目が引数が対象のときの定義
2番目が引数が射のときの定義
なぜ同じ$ Fを使うようになってしまったのかは不明
組による表示
takker.iconが使ってみたもの
$ F=(
$ {\rm ob}({\bf A})\ni A\mapsto F_o(A)\in{\rm ob}({\bf B}),
$ {\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F_f(f)\in{\bf B}(F_o(A),F_o(B))
$ )
対象を写す写像と射を写す写像という全く違うものに同じ記号を使うのが紛らわしくて嫌だったので、こうした
$ {\rm ob}({\bf A})\ni A\mapsto F_o(A)\in{\rm ob}({\bf B})
$ {\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F_f(f)\in{\bf B}(F_o(A),F_o(B))
便利そうなので使ったtakker.icon
満たすべき条件
射の合成の保存
1. $ \forall A_0,A_1,A_2\in{\rm ob}({\bf A})\forall g\in{\bf A}(A_0,A_1)\forall f\in{\bf A}(A_1,A_2).F_f(f\circ g)=F_f(f)\circ F_f(g)
恒等射の保存
2. $ \forall A\in{\rm ob}({\bf A}).F_f({\rm id}_A)={\rm id}_{F_o(A)}
これいらないかもしれないtakker.icon
1.と圏の定義の単位元の存在と組み合わせれば求まりそう 恒等射に恒等射を合成したら言えそうだよねnishio.icon
即落ち2コマ()takker.icon