圏の定義 - 井戸端

圏の定義

from 射の定義

圏の定義

Wolframでの定義nishio.icon

Category -- from Wolfram MathWorld

A category consists of three things:

a collection of objects,

for each pair of objects a collection of morphisms (sometimes call "arrows") from one to another,

and a binary operation defined on compatible pairs of morphisms called composition.

『ベーシック圏論普遍性からの速習コース』の方で圏の定義があるcFQ2f7LRuLYP.icon

https://gyazo.com/e499057d4760c1f74c0e5af8aec5dc06

p.12

この「射の集まり」を「射の類」と呼んでましたnishio.icon

「対象の集まり」「射の集まり」「合成」がWolframのa collection of objects, a collection of morphisms, composition に対応する

恒等射がなんで付け加えられてるんだろう

Category -- from Wolfram MathWorldでは射の従うべき条件に恒等射があるcFQ2f7LRuLYP.icon

なるほど、並べ方が違うだけで内容は同じかnishio.icon

なるほど～takker.icon

定義上は対象が先なのかtakker.icon

概念上は対象より射のほうが重要と聞いたことがある

from そこそこまあまあ精密に読む『ベーシック圏論普遍性からの速習コース』

次の4要素から成り立ち、結合律(結合法則)と単位律(単位法則)を満たすものを圏(category)$ \mathscr Aと定義する

1. 対象の集まり

これを$ {\rm ob}(\mathscr{A})と表記する

「$ Aが圏$ \mathscr Aの対象である」ことを$ A\in{\rm ob}(\mathscr A)と書く

2. $ \forall A,B\in{\rm ob}(\mathscr A)について$ Aから$ Bへの射(map,morphism,arrow,矢印)の集まり

射の集まりもしくは射の類

これを$ \mathscr A(A,B)と表記する

$ \mathscr A(A,B)は圏の対象の数だけ無数に存在する

「$ fが圏$ \mathscr Aの$ Aから$ Bへの射である」ことを$ f\in\mathscr A(A,B)と書く

3. $ \forall A,B,C\in{\rm ob}(\mathscr A)について、射の合成(composition)$ \bullet\circ\bulletという函数

$ \mathscr A(B,C)\times\mathscr A(A,B)\ni (f,g)\xmapsto{\circ}f\circ g\in\mathscr A(A,C)

圏の対象の数だけ無数に存在する

4. $ \forall A\in{\rm ob}(\mathscr A)について$ Aの恒等射$ {\rm id}_A\in\mathscr A(A,A)

これは恒等射の存在則$ \forall A\in{\rm ob}(\mathscr A).\mathscr A(A,A)\neq\varnothingとして単位法則と合体させたほうがスッキリすると思うtakker.icon

結合法則：$ \forall h\in\mathscr A(C,D)\forall g\in\mathscr A(B,C)\forall f\in\mathscr A(A,B).(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)

単位法則：$ \forall f\in\mathscr A(A,B).f\circ{\rm id}_A=f={\rm id}_B\circ f

$ \forall A,B,A',B'\in{\rm ob}(\mathscr A).\mathscr A(A,B)\cap\mathscr A(A',B')\neq\varnothing\implies A=A'\land B=B'

射の集まりは交わりを持たない

不注意に集合論の記号を使ってしまっているが、まあ言いたいことは伝わるだろうtakker.icon

ここで、対象や射の定義は一切与えていない

つまり、上の条件を満たすなら、どんなものを対象や射にしてもま～～～～～ったく問題ない

「4$ \land単位法則」の代わりに、単位元の存在を導入しても(おそらく)差し支えない

単位元の存在：$ \forall A\in{\rm ob}(\mathscr A)\exist i\in\mathscr A(A,A)\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B)\forall g\in\mathscr A(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=gー(4*)

以下、圏の定義にはこの条件を用いることにする

(4*)から、$ iが一意であることを示せる

(4*)

$ \implies(4*)\land\forall A\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall i,i'\in\mathscr A(A,A).

$ \begin{dcases}\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B)\forall g\in\mathscr A(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=g\\\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B)\forall g\in\mathscr A(B,A).f\circ i'=f\land i'\circ g=g\end{dcases}

$ \implies\begin{dcases}\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B).f\circ i=f\\\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall g\in\mathscr A(B,A).i'\circ g=g\end{dcases}

$ \implies\begin{dcases}\forall f\in\mathscr A(A,A).f\circ i=f\\\forall g\in\mathscr A(A,A).i'\circ g=g\end{dcases}

$ \implies\begin{dcases}i'\circ i=i'\\i'\circ i=i\end{dcases}

$ \implies i'=i

$ \underline{\therefore\forall A\in{\rm ob}(\mathscr A)\exist !i\in\mathscr A(A,A)\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B)\forall g\in\mathscr A(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=g\quad}_\blacksquare

当然だが単位元の存在の一意性と全く同じ証明法である

てことは、恒等射は射の合成$ \circに関する単位元と解釈できるということか

おもしろいtakker.icon