恒等射の保存を導出できなかった

恒等射の保存を導出しようとしたができなかったnishio.icon

できないのが教科書的に正しい

恒等射の存在

$ \forall A\in{\rm ob}(\mathscr A)\exist i\in\mathscr A(A,A)\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B)\forall g\in\mathscr A(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=g

射の合成の保存により

$ F(f)\circ F(i)=F(f) \quad\land\quad F(i)\circ F(g)=F(g) .... (1)

ここで定義$ {\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F(f)\in{\bf B}(F(A),F(B))により、$ F(i)は$ {\mathscr A}(F(A),F(A))\ni F(i)を満たす

$ \forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B)\forall g\in\mathscr A(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=gを使って$ F(i)が恒等射であることを言いたいが...

あれ？ここが問題か？

これがTrueにならないな

なるほど$ {\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F(f)\in{\bf B}(F(A),F(B))は、圏Aの射に対応する圏Bの射が存在することは言っているが、それ以外の射がないとは言ってないので(1)が満たされただけで「すべての射について」の主張を導くことができない

具体例

https://gyazo.com/de5b1835762871ce79799f72023df4cf

$ f_i \circ f_j = f_{i+j}だが、$ f_1 \circ f_1 = f_1になるとします

この写像は恒等射の保存以外の条件を満たしている

圏Aの対象の圏Bの対象への写像

$ {\rm ob}({\bf A})\ni A\mapsto F(A)\in{\rm ob}({\bf B})

圏Aの射の圏Bの射への写像

$ {\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F(f)\in{\bf B}(F(A),F(B))

射の合成の保存

$ \forall A_0,A_1,A_2\in{\rm ob}({\bf A})\forall g\in{\bf A}(A_0,A_1)\forall f\in{\bf A}(A_1,A_2).F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)

gもfもidAであり$ F(id_A\circ id_A)=F(id_A)=f_1, F(id_A)\circ F(id_A) = f_1 \circ f_1=f_1だから。

恒等射の保存はされない

恒等射の保存

$ \forall A\in{\rm ob}({\bf A}).F({\rm id}_A)={\rm id}_{F(A)}

$ F({\rm id}_A)=f_1だが$ f_1 \circ f_2 = f_3なので$ f_1 \neq {\rm id}_B

別途$ f_0 = {\rm id}_Bがある