偶数から奇数の射f(x)=x+1は可逆か？
のりしろ
nishio.iconさんから逆射に関わる問題が出た 偶数から奇数の射f(x)=x+1は可逆か？
まず可逆の定義をここに貼るcFQ2f7LRuLYP.icon
対象$ Aから$ Bへの射$ fが可逆 (invertible)であるとは、対象$ Bから$ Aへの射$ gで$ g\circ f = 1_Aかつ$ f\circ g = 1_Bをみたすものが存在するときにいう。このとき$ gを$ fの逆射 (inverse)、あるいは単に逆と呼び、$ f^{-1}と書く。可逆な射を同型射 (isomorphism) と呼ぶ。対象$ Aから$ Bへの射が同型射であるとき、$ Aと$ Bといは同型 (isomorphic) であるといい、$ A\cong Bと書く。 対象$ Aから$ Bへの射$ fが可逆 (invertible)であるとは、対象$ Bから$ Aへの射$ gで$ g\circ f = 1_Aかつ$ f\circ g = 1_Bをみたすものが存在するときにいう。 これがf(x)=x+1で成り立つかを調べたらいいんだなcFQ2f7LRuLYP.icon
偶数と奇数の圏は圏であるか？
対象はある、それぞれの数
射はある、何らかの演算
$ x+1とか$ x \times 2とか
割り算はダメっぽそう
合成は？
演算同士を合わせるとできそう
らしきものはある。一意には思えないcFQ2f7LRuLYP.icon
$ f(x)=x+0, $ f(x)=x+2, $ f(x)=x+4...って無数に恒等射らしきものが出てくるのでは
いや、上は違う、恒等射が存在するのは各対象に対して
だからたとえば$ f(x)=x×1の演算であれば対象はもとのまま
恒等射はある
f(x)=x+1をfとしようcFQ2f7LRuLYP.icon
fの域は偶数、余域は奇数
dom f = 偶数, cod f = 奇数
code:inverse.mmd
graph RL
A1((偶数))-- f -->B1
B1((奇数))
f(x)=x+1の演算をもう一回やると偶奇が反転する
↑ページのタイトルと、書かれている内容のレイヤーが1段ズレている気がしますmrsekut.icon
「偶数から奇数の射(矢印)」と言ったときどっちの話をしているか
対象は集合
e.g. 偶数という集合、奇数という集合
射は集合間の写像
...
https://gyazo.com/ae589da35cb030a62c9a8376d8f06111
なるほど、これまで自分は集合の要素を対象として考えてたけど、そうじゃなくて偶数の集合と奇数の集合が対象なのかcFQ2f7LRuLYP.icon
②偶数の圏、奇数の圏
対象は数
e.g. 偶数の圏の対象は、2,4,6,...
射は、例えば$ f(x)=x*1とか
恒等射のみということ
こっちで考えてましたねcFQ2f7LRuLYP.icon
こっちだとすると、ページのタイトルの「偶数から奇数の(矢印)」とは、
圏から圏への矢印のことなので、射ではなく関手ということになる ふへー（未接近概念）cFQ2f7LRuLYP.icon
https://gyazo.com/7ae442628cd734c46b0d9405be0a6f03
図を書いてみるとわかりやすいかもmrsekut.icon
ありがとうございますcFQ2f7LRuLYP.icon
圏においては図式が大事らしいのでバンバン図を書くべきかもしれないcFQ2f7LRuLYP.icon ・・・・・・・・・・・・・・・・・というわけで
たぶん①の方で考えなくてはならないcFQ2f7LRuLYP.icon
1のつもりだったnishio.icon
が、とりあえず「恒等射」の概念にあやふやさがあることがわかった 僕の理解が正しければ圏論は関数(写像)を抽象化して射の概念にして関数以外のものにも使えるようにしたものなのだけど、まず「偶数から偶数への恒等写像」とか「f(x)=x+1の逆関数(逆写像)」とかはサッとわかるのだろうか？ まだサッとわからない。ふたたび集合から当たる必要がありそうcFQ2f7LRuLYP.icon
今回の圏cFQ2f7LRuLYP.icon
対象
偶数の集合
{2,4,6,8,...}
奇数の集合
{1,3,5,7,...}
射
f(x)=x+1
偶数に1を足せば奇数になるcFQ2f7LRuLYP.icon
合成
うーん...cFQ2f7LRuLYP.icon
恒等射
うーん...cFQ2f7LRuLYP.icon
f(x)=x×1 が許されるならこれだと思うけどどうなんだろ
定義に帰れ
なるほどnishio.icon
まず関数の合成があって、これは射の合成に求められている特徴を全部持っている