確率論を記号論理で形式的に学ぶ
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スライド
$ P(A)=\int_Af(\omega)\mathrm d\omegaであるとき、$ fを確率密度函数と呼ぶ $ \mathrm d\omega\in\Omega\ne\Rだから、$ f(\omega)\mathrm d\omegaという計算はおかしいtakker.icon
$ X:\Omega\to\Rを、確率空間$ (\Omega,\mathcal F,P)上の確率変数(実確率変数)と呼ぶ 「変数」という呼び名は誤解を招きかねないのでやめるべきtakker.icon
ここでは出力の確率空間を$ \Rが土台の適当な空間としている
ノート
こちらの方が詳しい?
確率変数の紛らわしい記法の解説がわかりやすそう
可測空間$ (\Omega_A,\mathcal F_A),(\Omega_B,\mathcal F_B) について、$ \forall B\in\mathcal F_B;X^\gets[B]\in\mathcal F_A を満たす$ X:\Omega_A\to\Omega_B を可測写像と呼ぶ $ P_B:\mathcal F_B\ni B\mapsto P_A(X^\gets[B])\in\R_{\ge0} を$ Xの確率分布と呼ぶ 可測写像の制約条件は確率分布を構成するのに必要だった
なお$ (\Omega_B,\mathcal F_B,P_B)は確率空間になる 証明:そのうちやる
$ P_B=X_*(P_A)
Xが測度論的確率変数のとき、確率空間A上の確率測度μAをXで前送りしたX*(μA)は、可測空間(ΩV, ΣV)上の確率測度になります。
例
$ P_A(A)=\int_A p_A(a)\mathrm da
もう一方の可測空間を$ (\R,\mathfrak B_B)とする
このとき確率分布$ P_Bは
$ P_B(B)=P_A(X^\gets[B])=\int_{X(a)\in B}p_A(a)\mathrm da=\int_B\int_\R p_A(a)\delta(b-X(a))\mathrm da\mathrm db
$ P_B(B)=\int_Bp_B(b)\mathrm db
$ p_B(b)=\int_\R p_A(w)\delta(b-X(w))\mathrm dw=p_A(X^{-1}(b))
略記法
$ P_A(X\in B)=P_A(\{a\in\Omega_A|X(a)\in B\})
$ =P_A(X^\gets[B])
$ =P_B(B)
確率変数が$ Bの範囲にある確率=確率空間Bにおける事象$ Bの確率
$ P_A(X>1)=P_B(\{b\in\Omega_B|b>1\})=P_B({\Omega_B}_{>1})
確率変数が1より大きくなる確率=確率空間Bにて標本点が1より大きくなる事象の確率
$ P_A(X=1)=P_B(\{1\})
確率変数が1になる確率=確率空間Bでの根元事象$ \{1\}の確率
$ E[X]:=\int_{\Omega_A} X(a)p_A(a)\mathrm da=\int_{\Omega_B} bp_B(b)\mathrm db
何がしたいのか
$ (\Omega_A,\mathcal F_A,P_A)が観測できないが、$ (\Omega_B,\mathcal F_B)なら観測できる事がある
ここから元の確率を逆算する?
例:$ (\Omega_B,\mathcal F_B)を降水量、$ (\Omega_A,\mathcal F_A,P_A)を雨を降らせる現象とする
うーん、例がうまくない……
標本空間が$ \Rでないときの期待値・確率密度函数はどう定義する?
公理論的確率論ベース
6.1 確率空間とは
6.2 確率変数・可測写像
可測写像の定義にが挙げられているが、有限加法族の定義より$ \Omega_\bullet\in\mathcal F_\bulletなので不要
いや、いるなtakker.icon
6.3 確率測度の構成・拡張
6.4 確率空間上の積分
6.5 独立性
6.6 条件付確率
1. 事象と確率
2. 確率分布関数・確率密度関数
$ f(x):=P_A(X\le x)=P_B(\R_{\le x})
可測写像が$ x以下になる事象の確率を確率分布函数と定義する
$ f(x)=P_B(\R_{\le x})=\int_{b\le x}p_B(b)\mathrm db
$ \therefore f'(x)=p_B(x)
3. 平均
確率$ P(A)の定義まで
確率論の略歴が書かれている
課題プリントを問題集代わりにできそう
公理論的確率論
$ P:\mathfrak F\to\R_{\ge0}:確率測度 $ \Omegaが無限空間の場合は、次の連続性の公理も加えるのが一般的
$ \forall A:\N\to\mathfrak F;(\forall i\in\N;A_{i}\supset A_{i+1})\land\bigcap_{i\in\N} A_i=\varnothing\implies P(A_n)\to0\quad(n\to\infty)
全ての集合に共通要素がない減少列$ A_iの各確率は0に近づく これ必要なのか?よくわからないtakker.icon
$ \mathfrak Fは有限加法族に緩和される 可測空間$ (\Omega,\mathcal F) 複数の空間を取り扱いやすい
$ A=(\Omega_A,\mathcal F_A,\mu_A)
$ B=(\Omega_B,\mathcal F_B,\mu_B)
...
$ \Omega=(\underline\Omega,{\cal F}_\Omega,\mu_\Omega)もアリtakker.icon
$ P(A|B):=\frac{P(A\cap B)}{A(B)}
$ E(X|A):=\frac{E(\omega\mapsto X(\omega)\llbracket\omega\in A\rrbracket)}{P(A)}
$ E(X)=\sum_iE(X|A_i)P(A_i)
ただし、$ \bigcup_i A_i=\Omega\land\forall i,j;i\ne j\implies A_i\cap A_j=\varnothingとする