確率論を記号論理で形式的に学ぶ

確率変数の紛らわしい記法の解説がわかりやすそう

可測写像の制約条件は確率分布を構成するのに必要だった

証明：そのうちやる

$ P_B=X_*(P_A)

Xが測度論的確率変数のとき、確率空間A上の確率測度μAをXで前送りしたX*(μA)は、可測空間(ΩV, ΣV)上の確率測度になります。

例

$ P_A(A)=\int_A p_A(a)\mathrm da

$ P_B(B)=P_A(X^\gets[B])=\int_{X(a)\in B}p_A(a)\mathrm da=\int_B\int_\R p_A(a)\delta(b-X(a))\mathrm da\mathrm db

$ P_B(B)=\int_Bp_B(b)\mathrm db

$ p_B(b)=\int_\R p_A(w)\delta(b-X(w))\mathrm dw=p_A(X^{-1}(b))

略記法

$ P_A(X\in B)=P_A(\{a\in\Omega_A|X(a)\in B\})

$ =P_A(X^\gets[B])

$ =P_B(B)

$ P_A(X>1)=P_B(\{b\in\Omega_B|b>1\})=P_B({\Omega_B}_{>1})

確率変数が1より大きくなる確率=確率空間Bにて標本点が1より大きくなる事象の確率

$ P_A(X=1)=P_B(\{1\})

$ E[X]:=\int_{\Omega_A} X(a)p_A(a)\mathrm da=\int_{\Omega_B} bp_B(b)\mathrm db

何がしたいのか

ここから元の確率を逆算する？

うーん、例がうまくない……

公理論的確率論ベース

6.1 確率空間とは

6.2 確率変数・可測写像

6.3 確率測度の構成・拡張

6.4 確率空間上の積分

6.5 独立性

6.6 条件付確率

1. 事象と確率

2. 確率分布関数・確率密度関数

$ f(x):=P_A(X\le x)=P_B(\R_{\le x})

$ f(x)=P_B(\R_{\le x})=\int_{b\le x}p_B(b)\mathrm db

$ \therefore f'(x)=p_B(x)

3. 平均

確率論の略歴が書かれている

課題プリントを問題集代わりにできそう

公理論的確率論

$ \forall A:\N\to\mathfrak F;(\forall i\in\N;A_{i}\supset A_{i+1})\land\bigcap_{i\in\N} A_i=\varnothing\implies P(A_n)\to0\quad(n\to\infty)

複数の空間を取り扱いやすい

$ A=(\Omega_A,\mathcal F_A,\mu_A)

$ B=(\Omega_B,\mathcal F_B,\mu_B)

...

$ P(A|B):=\frac{P(A\cap B)}{A(B)}

$ E(X|A):=\frac{E(\omega\mapsto X(\omega)\llbracket\omega\in A\rrbracket)}{P(A)}

$ E(X)=\sum_iE(X|A_i)P(A_i)