有限加法族
定義A
(R1)$ \varnothing\in\mathcal M∅∈ℛ (F4)$ X\in\mathcal M
同値な定義が複数存在する
定義B
F4. (積集合演算について閉じている)$ \forall A,B\in\mathcal M:A\cap B\in\mathcal M F5. (対称差について閉じている)$ \forall A,B\in\mathcal M:A\Delta B\in\mathcal M F6. (積集合演算の単位元を持つ)$ S\in\mathcal M
定義B
F1. $ \forall A,B\in\mathcal M:A\cup B\in\mathcal M
F2. $ \forall A\in\mathcal M:S\setminus A\in\mathcal M
F8. $ \mathcal M\neq\varnothing
定義C
F6. $ S\in\mathcal M
F7. $ \forall A,B\in\mathcal M;A\setminus B\in\mathcal M
証明
各論理式の関係
$ {\rm F2\land F3}\implies S\setminus\varnothing\in{\cal M}\iff {\rm F6}
$ {\rm F1}\land{\rm F2}\implies\forall A,B\in{\cal M};S\setminus((S\setminus A)\cup(S\setminus B))\in{\cal M}\iff{\rm F4}
$ \because S\setminus((S\setminus A)\cup(S\setminus B))=A\cap B
$ {\rm F1\land F2}\implies{\rm F2\land F4}\implies\forall A,B\in{\cal M};S\setminus((S\setminus A\cup B)\cup(A\cap B))\in{\cal M}\iff{\rm F5}
$ \because S\setminus((S\setminus A\cup B)\cup(A\cap B))=(A\cup B)\cap(S\setminus(A\cap B))=(A\cup B)\setminus(A\cap B)=A\Delta B
証明
有限加法族$ \implies集合体
集合体$ \implies有限加法族
$ {\rm F5\land F6}\implies S\Delta S\in{\cal M}\iff {\rm F3}
$ {\rm F1}\land{\rm F2}\implies\forall A,B\in{\cal M};S\setminus((S\setminus A)\cup(S\setminus B))\in{\cal M}\iff{\rm F4}
性質
F7. (差集合について閉じている)$ \forall A,B\in\mathcal M;A\setminus B\in\mathcal M 証明：$ {\rm F2\land F4}\implies\forall A,B\in\mathcal M;A\cap(S\setminus B)\in\mathcal M\iff{\rm F7}
F8. $ \mathcal M\neq\varnothing
証明：$ \text{F3}\iff\varnothing\in\mathcal M\implies\mathcal M\neq\varnothing\iff\text{F8}
その他
(F3)のかわりに(F8)を採用してもいい
(F6)かつ(F7)も有限加法族の定義と同値らしい
$ S=\varnothingだとだめなのかな？takker.icon
(F1)~(F6)は$ S=\varnothingでも成立しそうだが
面積の加算が有限であることが重要なので
References