有限加法族 - くたくたじゅうよん

有限加法族

以下を満たす空でない集合$ S上の部分集合系$ \mathcal M\subseteq2^Sを有限加法族(finitely additive class)と呼ぶ

F1. (和集合演算について閉じている)$ \forall A,B\in\mathcal M;A\cup B\in\mathcal M

F2. (補集合演算について閉じている)$ \forall A\in\mathcal M;S\setminus A\in\mathcal M

F3. (和集合演算の単位元を持つ)$ \varnothing\in\mathcal M

一方、閉じている演算を$ \capと$ \Deltaに変えたものを集合体(field of sets)と呼ぶ

F4. (積集合演算について閉じている)$ \forall A,B\in\mathcal M;A\cap B\in\mathcal M

F5. (対称差について閉じている)$ \forall A,B\in\mathcal M;A\Delta B\in\mathcal M

F6. (積集合演算の単位元を持つ)$ S\in\mathcal M

有限加法族の条件と集合体の条件は同値なため、どちらの条件・呼び名を採用してもよい

証明

有限加法族$ \implies集合体

$ {\rm F2\land F3}\implies S\setminus\varnothing\in{\cal M}\iff {\rm F6}

$ {\rm F1}\land{\rm F2}\implies\forall A,B\in{\cal M};S\setminus((S\setminus A)\cup(S\setminus B))\in{\cal M}\iff{\rm F4}

$ \because S\setminus((S\setminus A)\cup(S\setminus B))=A\cap B

$ {\rm F1\land F2}\implies{\rm F2\land F4}\implies\forall A,B\in{\cal M};S\setminus((S\setminus A\cup B)\cup(A\cap B))\in{\cal M}\iff{\rm F5}

$ \because S\setminus((S\setminus A\cup B)\cup(A\cap B))=(A\cup B)\cap(S\setminus(A\cap B))=(A\cup B)\setminus(A\cap B)=A\Delta B

集合体$ \implies有限加法族

$ {\rm F5\land F6}\implies S\Delta S\in{\cal M}\iff {\rm F3}

$ {\rm F1}\land{\rm F2}\implies\forall A,B\in{\cal M};S\setminus((S\setminus A)\cup(S\setminus B))\in{\cal M}\iff{\rm F4}

性質

F7. (差集合について閉じている)$ \forall A,B\in\mathcal M;A\setminus B\in\mathcal M

証明：$ {\rm F2\land F4}\implies\forall A,B\in\mathcal M;A\cap(S\setminus B)\in\mathcal M\iff{\rm F7}