有限確率空間

finite probability space

定義

$ \Omega: 有限集合

このときそれぞれ以下のように呼ぶ

$ \Omega

sample space

$ A(\subset \Omega)

事象

event

$ P(A)は事象$ Aの起こる確率

probability

$ \omega(\in \Omega)

標本点

sample point

$ \{\omega\}

fundemental event

有限確率空間の例

コインを1回投げる事象を考える

$ \Omega=\{表,裏\}

冪集合は$ 2^\Omega=\{\phi, \{表\},\{裏\},\{表,裏\}\}

$ P(\phi)=0, P(\{表\})=\frac{1}{2}, P(\{裏\})=\frac{1}{2}, P(\{表,裏\})=1

と定めると、$ (\Omega, P)は有限確率空間

定義を満たす

定理

$ P(\overline{A})=1-P(A)

$ A\subset B \Rightarrow P(A)\le P(B), P(B\backslash A)=P(B)-P(A)

$ 0\le P(A)\le 1

定理

$ A_1,\cdots,A_nについて、

$ A_i\cap A_j=\phi (i\ne j)\Rightarrow P(A_1\cup\cdots\cup A_n)=P(A_1)+\cdots+P(A_n)

帰納法によって証明できる

$ P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\{\omega\})

$ P(B\backslash A)=P(B)-P(A\cap B)

$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

$ P(A\cup B)\le P(A)+P(B)

$ P(A_1\cup\cdots\cup A_n)\le P(A_1)+\cdots+P(A_n)

$ P(A\cup B\cup C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cup B)-P(B\cup C)-P(C\cup A)+P(A\cap B\cap C)