完全加法族 - くたくたじゅうよん

完全加法族

空でない集合$ S上の有限加法族$ \cal Fで、可算無限和について閉じている集合系を完全加法族 (completely additive class of sets)と呼ぶ

定義：$ {\cal F}\subseteq 2^Sが完全加法族$ \iff

S1. $ \cal Fが有限加法族

S2. $ \forall{\cal A}\subseteq{\cal F};|A|=\aleph_0\implies\bigcup{\cal A}\in{\cal F}

性質

S3. $ \forall{\cal A}\subseteq{\cal F};|A|=\aleph_0\implies\bigcap{\cal A}\in{\cal F}

有限加法族の条件F2 $ \forall A\in\mathcal F;S\setminus A\in\mathcal FとDe Morganの法則より、$ \rm S2\iff S3である

別名