完全加法族 - くたくたじゅうよん

完全加法族

任意の集合$ S上の有限加法族$ \mathcal F\in2^{2^S}で、可算無限和についても閉じている集合系を完全加法族 (completely additive class of sets)と呼ぶ

定義：$ {\cal F}が完全加法族$ \iff

S1. $ \cal Fが有限加法族

S2. $ \forall A_\bullet:\N\to\mathcal F:\bigcup_{n\in\N}A_n\in{\cal F}

より展開して書くと次の通り

$ {\cal F}が完全加法族$ \iff

1. $ \varnothing,S\in\mathcal F

2. $ \forall A\in\mathcal F:S\setminus A\in\mathcal F

3. $ \forall A_\bullet:\N\to\mathcal F:\bigcup_{n\in\N}A_n\in{\cal F}

/takkerでは、$ S上の完全加法族全体の集合を$ \mathscr F_Sと表すことにするtakker.icon

性質

S3. $ \forall A_\bullet:\N\to\mathcal F:\bigcap_{n\in\N}A_n\in{\cal F}

有限加法族の条件F2( $ \forall A\in\mathcal F:S\setminus A\in\mathcal F)とDe Morganの法則より、$ \rm S2\iff S3である

$ \forall\mathscr S'\subseteq\mathscr S_X:\bigcap\mathscr S'\in\mathscr S_X

$ \mathscr S_X：$ X上の完全加法族全体の集合

別名

用語

$ 2^Sも$ Sの完全加法族になる

これを離散σ-集合代数というらしい

namingを合わせたいので、/takkerでは離散完全加法族と呼ぶことにする