『関数解析からのフーリエ級数とフーリエ変換』

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著梶木屋龍治

件名標目フーリエ級数, フーリエ変換, 関数解析

出版日 2023-01-21

出版社現代数学社

ISBN-13 9784768705988

NDC10 413.59

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本書はフーリエ解析（フーリエ級数とフーリエ変換）を基本的な性質から順を追って偏微分方程式の解法，ヒルベルト空間を定義してL2 空間やl 2 空間を導入し，関数解析的視点からフーリエ級数とフーリエ変換を解説する，王道の解説書です．【内容】フーリエ級数／ヒルベルト空間とフーリエ級数／有限区間における偏微分方程式／フーリエ変換／導関数と合成積のフーリエ変換／無限区間における偏微分方程式／多次元のフーリエ変換

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第1章フーリエ級数

1.1 フーリエ級数の定義と計算

定義1.1 $ T:=\rbrack-\pi,\pi\lbrack で積分可能な函数$ f:\R\to\Rにて、以下の$ a_\bullet,b_\bullet:\N\to\RをFourier係数と呼ぶ

$ a_n:=\frac1\pi\int_Tf(x)\cos nx\mathrm dx

$ b_n:=\frac1\pi\int_Tf(x)\sin nx\mathrm dx

このとき、$ \frac12a_0+\sum_{n\in\N}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)を$ fのFourier級数と呼ぶ

以下、$ P(x)が$ f(x)のFourier級数であることを

$ f(x)\sim P(x)

と表す

1.2 正弦級数と余弦級数

$ fが奇函数のとき$ f(x)\sim\sum_{n\in\N}b_n\sin nxが成り立つ

これをFourier正弦級数と呼ぶ

$ fが偶函数のとき$ f(x)\sim\frac12a_0+\sum_{n\in\N}a_n\cos nxが成り立つ

これをFourier余弦級数と呼ぶ

1.3 フーリエ級数の収束

1.4 フーリエ級数の応用

1.5 複素形式のフーリエ級数

定義1.3

$ T:=\rbrack-\pi,\pi\lbrack で積分可能な函数$ f:\R\to\Complexにて、以下の$ c_\bullet:\Z\to\Complexを複素Fourier係数と呼ぶ

$ c_\bullet:\Z\ni n\mapsto\frac1{2\pi}\int_Tf(x)e^{-inx}\mathrm dx\in\Complex

このとき、$ fのFourier級数

$ f(x)\sim\sum_{n\in\Z}c_ne^{inx}

を複素Fourier級数と呼ぶ

補題1.4Fourier係数と複素Fourier係数との関係

$ \forall n\in\Z_{\ge0}:c_n=\frac12(a_n-ib_n)

$ \forall n\in\Z:c_{-n}={c_n}^*

第2章ヒルベルト空間とフーリエ級数

2.1 バナッハ空間とヒルベルト空間

定義2.1 実Banach空間、複素Banach空間

Banach空間

定義2.2,2.3 Hilbert空間

Hilbert空間$ (V,\mathbf K,+,\cdot,\braket{\bullet|\bullet})にて、内積から誘導したnormを$ \lVert\bullet\rVert:V\ni\bm v\mapsto\sqrt{\braket{\bm v|\bm v}}\in\Rとすると、$ (V,\mathbf K,+,\cdot,\lVert\bullet\rVert)がBanach空間となる

定理2.1 Cauchy-Schwarzの不等式

任意のHilbert空間$ (V,\mathbf K,+,\cdot,\braket{\bullet|\bullet})とその内積から誘導したnorm$ \lVert\bullet\rVert:V\ni\bm v\mapsto\sqrt{\braket{\bm v|\bm v}}\in\Rについて、以下が成り立つ

1. $ \forall\bm u,\bm v\in V:\lVert\braket{\bm u|\bm v}\rVert\le\lVert\bm u\rVert\lVert\bm v\rVert

2. $ \forall\bm u,\bm v\in V:\lVert\braket{\bm u|\bm v}\rVert=\lVert\bm u\rVert\lVert\bm v\rVert\iff\bm v=\bm0\lor\exist\lambda\in K:\bm u=\lambda\bm v

証明

例2.1

$ L^p(\Omega,K):=\left\{u:\Omega\to K\middle|\int_\Omega|u(x)|^p\mathrm dx\text{が積分可能}\right\}

絶対可積分な$ f:\Omega\to Kは$ f\in L^1(\Omega, K)と表せる

これはLp空間のことを示している

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/Lp空間#Lp_空間

Lp norm$ \lVert u\rVert_p:=\left(\int_\Omega|u(x)|^p\mathrm dx\right)^\frac1pを定義すると、$ (L^p(\Omega,K),\mathbf K,+,\cdot,\lVert\bullet\rVert_p)がBanach空間になる

特に、$ \braket{u|v}_2:=\int_\Omega u(x)v^*(x)\mathrm dxとすると$ (L^2(\Omega,K),\mathbf K,+,\cdot,\braket{\bullet|\bullet})がHilbert空間になる

例2.2

$ l^p(K):=\left\{\xi:\N\to K\middle|\sum_{i\in\N}|\xi_i|^p\text{が収束する}\right\}

ℓp空間のこと

2.2 ヒルベルト空間の性質

定義2.4 完全正規直交系 (CONS)

任意のHilbert空間$ \mathbf H=(V,\mathbf K,+,\cdot,\braket{\bullet|\bullet})と$ \forall B\subseteq Vにて、以下を満たす$ Bを$ \mathbf Hの完全系であるという

$ \forall v\in V:(\forall b\in B:\braket{v|b}=0)\implies v=0

https://ja.wikipedia.org/wiki/完全系

基底の定義とは違うことに注意takker.icon

完全系かつ正規直交系($ \forall b\in B:\lVert b\rVert=1\land\forall b_1,b_2\in B:\braket{b_1|b_2}\neq0\implies b_1=b_2)な$ Bを$ \mathbf Hの完全正規直交系(CONS)という

正規直交基底とは定義が