norm
定義
$ K\in\{\R,\Complex\}のとき、任意の$ \bf K-線型空間$ \mathbf Vにて、次を満たす函数$ \lVert\bullet\rVert:V\to\Rをノルム(norm)と呼ぶ 1. (正定値性)$ \forall\bm v\in V:\lVert\bm v\rVert=0\implies\bm v=\bm0 一般的な正定値性の定義は知らないtakker.icon 2. (斉次性)$ \forall\lambda\in K\forall\bm v\in V:\lVert\lambda\bm v\rVert=|\lambda|\lVert\bm v\rVert 3. (三角不等式)$ \forall\bm u,\bm v\in V:\lVert\bm u+\bm v\rVert\le\lVert\bm u\rVert+\lVert\bm v\rVert ※$ \bf Kの台集合を$ K、$ \bf Vの台集合を$ Vとしている
性質
独立性$ \forall\bm v\in V:\lVert\bm v\rVert=0\iff\bm v=\bm0 証明：$ \forall\bm v\in V:
$ \lVert\bm v\rVert=0
$ \implies\bm v=\bm 0
$ \implies\lVert\bm v\rVert=\lVert0\bm v\rVert
$ \because\bm v=\bm 0
$ = |0|\lVert\bm v\rVert
$ =0
$ \underline{\therefore\forall\bm v\in V:\lVert\bm v\rVert=0\iff\bm v=\bm0\quad}_\blacksquare
半正定値性$ \forall\bm v\in V:\lVert\bm v\rVert\ge0 証明：$ \forall\bm v\in V:
$ 0=\lVert\bm0\rVert$ \because1.
$ = \left\lVert\frac12\bm v-\frac12\bm v\right\rVert
$ \le\left\lVert\frac12\bm v\right\rVert+\left\lVert-\frac12\bm v\right\rVert$ \because3.
$ =\frac12\lVert\bm v\rVert+\frac12\lVert\bm v\rVert$ \because2.
$ =\lVert\bm v\rVert
$ \underline{\therefore\forall\bm v\in V:\lVert\bm v\rVert\ge0\quad}_\blacksquare
References