内積から誘導したnorm

実もしくは複素計量線型空間$ \bf Vの内積$ \braket{\bullet|\bullet}:V^2\to K\quad (K\in\{\R,\Complex\})から誘導したnorm$ \lVert\bullet\rVert:V\ni\bm v\mapsto\sqrt{\braket{\bm v|\bm v}}\in\R_{\ge0}のこと

内積から誘導したnormがnormの定義を満たすことを示す

定義域

半正定値性より$ \sqrt{\braket{\bm v|\bm v}}\in\R_{\ge0}

normの公理

1. (正定値性)$ \forall\bm v\in V:

$ \lVert\bm v\rVert=0

$ \iff\braket{\bm v|\bm v}=0

$ \implies\bm v=\bm 0

$ \because非退化性

$ \underline{\therefore\forall\bm v\in V:\lVert\bm v\rVert=0\implies\bm v=\bm0\quad}_\blacksquare

2. (斉次性)$ \forall\lambda\in K\forall\bm v\in V:

$ \lVert\lambda\bm v\rVert=\sqrt{\braket{\lambda\bm v|\lambda\bm v}}

$ =\sqrt{\lambda\lambda^*\braket{\bm v|\bm v}}

$ \because共軛対称律と線型性

$ =\sqrt{|\lambda|^2\braket{\bm v|\bm v}}

$ =|\lambda|\sqrt{\braket{\bm v|\bm v}}

$ =|\lambda|\lVert\bm v\rVert

$ =0

$ \underline{\therefore\forall\lambda\in K\forall\bm v\in V:\lVert\lambda\bm v\rVert=|\lambda|\lVert\bm v\rVert\quad}_\blacksquare

3. (劣加法性)$ \forall\bm u,\bm v\in V:

$ \lVert\bm u+\bm v\rVert=\sqrt{\braket{\bm u+\bm v|\bm u+\bm v}}

$ = \sqrt{\braket{\bm u|\bm u+\bm v}+\braket{\bm v|\bm u+\bm v}}

$ \because線型性

$ = \sqrt{\braket{\bm u+\bm v|\bm u}^*+\braket{\bm u+\bm v|\bm v}^*}

$ \because共軛対称律

$ = \sqrt{\braket{\bm u|\bm u}^*+\braket{\bm v|\bm u}^*+\braket{\bm u|\bm v}^*+\braket{\bm v|\bm v}^*}

$ \because線型性

$ = \sqrt{\braket{\bm u|\bm u}+\braket{\bm v|\bm u}^*+\braket{\bm u|\bm v}^*+\braket{\bm v|\bm v}}

$ \because共軛対称律

$ = \sqrt{\lVert\bm u\rVert^2+2\Re\braket{\bm u|\bm v}+\lVert\bm v\rVert^2}

$ \le \sqrt{\lVert\bm u\rVert^2+2|\braket{\bm u|\bm v}|+\lVert\bm v\rVert^2}

$ \le\sqrt{\lVert\bm u\rVert^2+2\lVert\bm u\rVert\lVert\bm v\rVert+\lVert\bm v\rVert^2}

$ \becauseCauchy-Schwarzの不等式

$ =\sqrt{(\lVert\bm u\rVert+\lVert\bm v\rVert)^2}

$ =\lVert\bm u\rVert+\lVert\bm v\rVert

$ \underline{\therefore\forall\bm u,\bm v\in V:\lVert\bm u+\bm v\rVert\le\lVert\bm u\rVert+\lVert\bm v\rVert\quad}_\blacksquare

#2025-05-31 15:42:57