Fourierの反転公式

Fourier変換$ \mathcal Fの逆変換がFourier逆変換$ \mathcal F^{-1}になることを示す定理

定理：定義域全体で区分的に滑らかかつ絶対可積分な任意の$ f:\R\to\Complexについて、以下が成り立つ

$ \frac12(f(x+0)+f(x-0))=\mathcal F^{-1}\circ\mathcal F(f)(x)\quad\text{.for }\forall x\in\R

$ xで$ fが連続なら、$ f(x+0)=f(x-0)=f(x)なので$ f(x)=\mathcal F^{-1}\circ\mathcal F(f)(x)となる

証明

$ \frac12(f(x+0)+f(x-0))に何かしらの演算子を当てたい

よく使うので

$ f_\pmとか？

$ f^\updownarrowとか？

うーん

References