Laplace方程式
$ \bm\nabla^2\phi=0
一般解
球座標&変数分離法
Laplace方程式を満たす函数として調和函数があるが、これが一般解でもあるのかどうかはわからなかったtakker.icon 3次元 & 正規直交座標系で表せる場合
$ \left(\frac{\partial^2}{\partial x_0}+\frac{\partial^2}{\partial x_1}+\frac{\partial^2}{\partial x_2}\right)\phi(x_0,x_1,x_2)=0
$ \phi(x_0,x_1,x_2)=X_0(x_0)Y_1(x_1)Z_1(x_1)となる1変数函数$ X_iが存在すると仮定して、式展開する
$ \begin{dcases}\left(\frac{\partial^2}{\partial x_0}+\frac{\partial^2}{\partial x_1}+\frac{\partial^2}{\partial x_2}\right)\phi(x_0,x_1,x_2)=0\\\phi(x_0,x_1,x_2)=X_0(x_0)Y_1(x_1)Z_1(x_1)\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}X_0''(x_0)X_1(x_1)X_2(x_2)+X_0(x_0)X_1''(x_1)X_2(x_2)+X_0(x_0)X_1(x_1)X_2''(x_2)=0\\\phi(x_0,x_1,x_2)=X_0(x_0)Y_1(x_1)Z_1(x_1)\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}\frac{X_0''(x_0)}{X_0(x_0)}+\frac{X_1''(x_1)}{X_1(x_1)}+\frac{X_2''(x_2)}{X_2(x_2)}=0\\\phi(x_0,x_1,x_2)=X_0(x_0)Y_1(x_1)Z_1(x_1)\end{dcases}
両辺を$ \phi(x_0,x_1,x_2)で割った
$ \phi(x_0,x_1,x_2)=0のときのことは一旦無視するtakker.icon
$ \iff\begin{dcases}\frac{X_0''(x_0)}{X_0(x_0)}+\frac{X_1''(x_1)}{X_1(x_1)}+\frac{X_2''(x_2)}{X_2(x_2)}=0\\\frac{\mathrm d}{\mathrm dx_i}\left(\frac{X_i''(x_i)}{X_i(x_i)}\right)=0\quad\text{.for }\forall i\in\{0,1,2\}\\\phi(x_0,x_1,x_2)=X_0(x_0)Y_1(x_1)Z_1(x_1)\end{dcases}
$ \iff\exist \omega_\bullet;\begin{dcases}\frac{X_i''(x_i)}{X_i(x_i)}+{\omega_i}^2=0\quad\text{.for }\forall i\in\{0,1,2\}\\\sum_i{\omega_i}^2=0\\\phi(x_0,x_1,x_2)=X_0(x_0)Y_1(x_1)Z_1(x_1)\end{dcases}
$ \iff\exist \omega_\bullet,A_\bullet,B_\bullet,C_\bullet;\begin{dcases}X_k:x\mapsto A_ke^{i\omega_kx}+B_ke^{-i\omega_kx}+C_kx\llbracket\omega_k=0\rrbracket\quad\text{.for }\forall i\in\{0,1,2\}\\\sum_i{\omega_i}^2=0\\\phi(x_0,x_1,x_2)=X_0(x_0)Y_1(x_1)Z_1(x_1)\end{dcases}
$ \underline{\iff\exist \omega_\bullet,A_\bullet,B_\bullet,C_\bullet;\begin{dcases}\sum_i{\omega_i}^2=0\\\phi(x_0,x_1,x_2)=\prod_k\left(A_ke^{i\omega_kx}+B_ke^{-i\omega_kx}+C_kx\llbracket\omega_k=0\rrbracket\right) \end{dcases}\quad}_\blacksquare
未知定数$ 2n+2もしくは$ 2n個で表せる形に持ち込めた
次元数を具体化する
0次元：なし
1次元：$ \phi(x)=C x+B\quad\text{.for }\forall C,B
2次元：$ \phi(x_0,x_1)=\left(A_0e^{i\omega_0x}+B_0e^{-i\omega_0x}+C_0x\llbracket\omega_0=0\rrbracket\right)\left(A_1e^{|\omega_0|e^{i(\arg\omega_0-n\pi)}x}+B_1e^{|\omega_0|e^{i(\arg\omega_0-n\pi)}x}+C_1x\llbracket\omega_0=0\rrbracket\right)\quad\text{.for }\forall A_\bullet,B_\bullet,C_\bullet,\omega_0
$ {\omega_0}^2+{\omega_1}^2=0
$ \omega_\bullet\in\Rなら、$ \omega_\bullet=0しかない
$ \omega_\bullet\in\Complexなら、
$ \iff|\omega_0|^2e^{2i\theta_0}=-|\omega_1|^2e^{2i\theta_1}=|\omega_1|^2e^{2i\theta_1+i\pi}
$ \iff |\omega_0|=|\omega_1|\land 2\arg\omega_0=2\arg\omega_1+\pi+2n\pi\quad\text{.for }\forall n\in\Z
$ \iff\omega_1=|\omega_0|e^{i\arg\omega_0-\frac{2n+1}2i\pi}\quad\text{.for }\forall n\in\Z
$ = -i|\omega_0|e^{i(\arg\omega_0-n\pi)}\quad\text{.for }\forall n\in\Z
未知定数を7個まで減らせた
$ \omega_0=0で4個
$ \omega_0\neq0で5個