群
群(ぐん、group)
群論で出てくる基礎
定義
集合$ G と演算$ \circ の組み$ (G, \circ) があったとき、(G1)〜(G4)の条件が満たすとき群となる。
演算は集合から二つの要素を取って、二項演算$ \circ を適用したときに$ G に写る操作 $ G \circ G \to G
$ \circ : G \times G \to G
(G1) 演算$ \circ に関して閉じている
$ G から元を取って演算をしたときに、$ G に含まれない元にならないこと
言い換え: $ G から元を取って演算をしたときに、演算結果は$ G に含まれる元である
(G2) 結合則
任意の3つの元$ a,b,c \in G に対して、結合則
$ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
が成り立つ。
(G3) 単位元の存在
$ G には単位元$ e が含まれていて、任意の元$ a について
$ a \circ e = e \circ a = a
が成り立つ。
元$ e は、左右どちらから演算しても$ a が変化しないような元
単位元(indentity element)
$ a \circ e = a \ \land \ e \circ a = a
(G4) 逆元の存在
任意の元$ a に対して、その逆元$ a^{-1} が存在して
$ a\circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e
が成り立つ。
逆元は左右のどちらから掛けても単位元になる
逆元(inverse element)
$ a \circ a^{-1} = e \ \land \ a^{-1} \circ a = e
(G1)〜(G4)からさらに下記の(G5)も満たす場合はアーベル群(abelian group)、または可換群(commutative group)という。 (G5) 可換則
$ x \circ y = y \circ x
が成り立つ
交換則ともいう
群の例
0を除いた場合の実数$ \mathbb{R} \backslash\lbrack 0\rbrack
$ (\mathbb{R} \backslash\lbrack 0\rbrack, \times)
$ (\mathbb{R} \backslash\lbrack 0\rbrack, +)
整数の集合$ \mathbb{Z} と、加法$ + の組み$ (\mathbb{Z}, +)
可換群
有理数の集合から0を除いた集合$ \mathbb{Q} \backslash\{0\} と、乗法$ \times の組み$ (\mathbb{Q}\backslash\{0\}, \times)
可換群
幾何学
正三角形の回転を120°回転に限定したときの操作
化学
$ \rm{NH_3}
$ \rm{H_2O}
群の位数
$ G が群であるとき、その元の個数$ |G| を$ G の位数という。
位数が有限な群を有限群
位数が無限な群を無限群
G4(逆元の存在)、G3(単位元の存在)の条件がないと半群 $ + (加法)の演算子で(G1)～(G5)を満たす場合は加法群 確認用
Q. 演算とは
Q. 群(group)とは
Q. 群である条件は
[]が閉じている
[]則
[]の存在
[]の存在
[]則
Q. 単位元
Q. 逆元とは
Q. 群の性質
単位元の数
逆元の数
Q. 群の例
参考
基礎数学I 抽象代数メモ① 群・環・体 - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=PH7vP_4MDFw
https://youtu.be/Nj5nwjtoITc
関連