閉じている(群論)

集合の元に関して演算をしたときに、もとの集合に属するような関係

例

3 + 2 = 5

自然数と自然数を足すと自然数になっている

$ \N + \N \to \N

閉性（へいせい、英: closure property; 包性）のこと

自然数は加法、乗法について閉じている

証明は下記のサイトの記述が証明になるっぽい。

3 + 2 = 5

$ \mathbb{N} + $ \mathbb{N} = $ \mathbb{N}

これを一般化？すると$ x, y \in \mathbb{N} のとき、$ x + y \in \mathbb{N}

自然数は減法について閉じていない。$ + 2 - (+ 3) = -1 は自然数の範囲外になる

除法についても閉じていない

整数$ \mathbb{Z}

$ \mathbb{Z} = \{. . . , −n, . . . , −1, 0, 1, . . . , n, . . \}

整数は加法、減法、乗法について閉じている

0を含んでいて演算できない？ので除法については閉じていない

$ \mathbb{Z} + \mathbb{Z} → \mathbb{Z}

$ \mathbb{Z} - \mathbb{Z} → \mathbb{Z}

$ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} → \mathbb{Z}

有理数$ \mathbb{Q}

$ \mathbb{Q} = \lbrace p/q \ \vert \ p \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \rbrace

有理数は加法、減法、乗法、除法の４つの演算に関して閉じている。

$ \mathbb{Q} + \mathbb{Q} → \mathbb{Q}

$ \mathbb{Q} - \mathbb{Q} → \mathbb{Q}

$ \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} → \mathbb{Q}

$ \mathbb{Q} \div \mathbb{Q} → \mathbb{Q}

四則に対して閉じている

確認用

Q. 閉じているとは

Q. 閉じているの例は

Q. 自然数の四則

Q. 加法、乗法、減法、除法それぞれ閉じているか

Q. 有理数の四則

Q. 加法、乗法、減法、除法それぞれ閉じているか

Q. 整数の四則

Q. 加法、乗法、減法、除法それぞれ閉じているか

参考