写像
写像(しゃぞう、英: mapping, map)
二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のこと 二つの対象を比べるときに用いる？
現実の例に適用するときは集合$ A をあるフィルター(条件)を通して集合$ B に写したものが写像
こういう表記があるかわらないけど、フィルターは写像$ f の下側に付くと思う
$ f_{条件}:A \rightarrow B
写像$ f : A \to B の$ A 部分は定義域(domain)、$ B 部分は値域(range)
関数的に考えるとf(a : A) : Bで、型Aの要素の引数aを取って、型Bの要素を返すようなもの
Sets as Typesという言葉があるように、「型A = 集合A」、「型Aの要素a : A = 集合Aの要素a」ぐらいは全然問題なさげ 写像に関してはA, Bが集合という指定があるので大丈夫そう
写像の例
例1
$ X = \{学生\} 、$ A := \{ 企業 \} 、就職先$ B :=\{就職先\}
例2
$ A = \{1, 2, 3\}, B =\{ 4,5,6 \}
これが1→4、2→5、3→6とすべて1対1対応するなら写像と言える。
https://gyazo.com/efc91bd0cf862a62c82c82fd23eaae24
写像でない例
https://gyazo.com/7bd72c76bc9ba97420862840afd3c564
定義
集合$ A の各元$ a に対し、集合$ B の元$ f(a) がただ一つに定まっているとき、$ f を$ A から$ B への写像という。$ f が集合$ A から集合$ B への写像のとき、$ f : A \to B と書く。
下記は「集合$ A の各元$ a に対し、集合$ B の元$ f(a) がただ一つに定まっているとき」の数式
$ f: a \mapsto f(a)
集合$ A から集合$ B への写像$ f: A → B
$ f: A → B は、「AからBへの写像f」と読む
写像は$ A の各々の元$ a に対して$ B の 元$ b を対応させる規則のこと
元 $ a∈A と元 $ b∈B として、元の対応は$ f: a \mapsto b と書く。
読み方:
$ a∈A : 集合Aに含まれる元a
$ f: a \mapsto b : aからbへの写像f
$ f: A ∋ a \mapsto b \in B と表すこともある
$ f の$ A の部分を定義域(domain)、$ B を終域(codomain)と呼ぶ。
確認用
Q. 写像の定義
Q. 元の対応の書き方
Q. 写像の例
Q. 写像でない例
Q. 恒等写像
Q. 合成写像
Q. 逆写像
参考
https://www.youtube.com/watch?v=yI7FZbUQ2BI&list=PLx3dFfRgOu4QEiSs9kdGUQ0KK-Bx8tJig&index=5
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