線形写像 - pogi-log

線形写像

線形写像(せんけいしゃぞう、linear map)

体$ F 上のベクトル空間$ V から、$ F 上のベクトル空間$ W への写像$ f を考える。

$ f: V \to W

この写像が次の性質を満たすとき、線形写像という。

(1)$ f(x + y) = f(x) + f(y) \quad (∀x,y \in V, \ \ f(x), f(y) \in W)

(2)$ f(cx) = cf(x) \quad (∀c∈F, ∀x∈V)

(1)、(2)はの性質は線形性(linearity)とも呼ばれる。

線形写像でない例

$ f(x)=x+1 、$ f(x)=x^2

$ f(x)=x+1 が線形写像でない証明

(1)の定義されている$ x と名前が被って混乱するので$ f(u) = u + 1 としておく

(1) $ f(x + y) = f(x) + f(y) の左辺を計算する。

$ f(x + y) のときは、$ u = x + y で、$ f(x + y) = (x + y) + 1

計算すると、

$ f(x + y) = (x + y) + 1

(1) $ f(x + y) = f(x) + f(y) の右辺を計算する。

$ f(x) のときは$ u = x で$ f(x) = x + 1

$ f(y) のときは$ u = y で$ f(y) = y + 1

計算すると、

$ \begin{split}f(x) + f(y) &= (x + 1) + (y + 1)\\ &= x + y + 2 \end{split}

$ x + y + 1 \neq x + y + 2 となり(1)は成り立たないため$ f(u) = u + 1 は線形写像ではない。