体
群論の体について
体 (独: Kelper、英: Field)
0で割ることをのぞいて足し算、引き算、掛け算、割り算の四則演算ができるもの。
足し算(加法)
掛け算(乗法)
引き算(減法、加法の逆演算)
割り算(除法、乗法の逆演算)
単位的環であって、その非零元の全体が乗法に関して群を成すもの
単位的環とは...?
非自明な単位的環であって、任意の非零元が乗法逆元を持つもの
非自明な単位的環とは...?
定義
集合$ K と乗法$ \cdot 、加法$ + の組$ (K, \cdot, +) が下記条件を満たすもの
(K2) $ K \backslash\{ 0 \} が乗法について群を成す。 $ K \backslash \{0\} は0を除いたもの
この場合の群を成すとは以下のこと
乗法について結合法則が成り立つ
$ a(bc) = (ab)c
乗法について単位元がある
$ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a
($ a \cdot 1 = a \land 1 \cdot a = a )
乗法について逆元が存在する
$ a \ne 0 に対し、$ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1
$ a \cdot a^{-1} 1 \land a^{-1} \cdot a = 1
可換のとき、可換体 or 体
(K3) ) $ K \backslash\{ 0 \} が交換則を満たす場合
可換ではない場合は、体 or 斜体と言ったりする。
体になるもの
剰余体$ \mathbb{Z}_p = \{ [0],[1],...,[p-1] \}
$ p は素数
体にならないもの
$ \Z : 整数の集合
https://gyazo.com/57725b2d4385b1913c769ece522b33bb
code:memo
可換のみ 両方 非可換のみ
体 ○ ○
可換体 ○
斜体 ○ ○
可除環 ○
非可換体 ○
確認用
Q. 体
Q. 体である条件
Q. 環である条件
Q. 可換体
Q. 斜体
Q.
参考
基礎数学I 抽象代数メモ① 群・環・体 - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=PH7vP_4MDFw
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