加群
加群(module)
名前のどおりのイメージだと「加法群」だがあまり言わないらしい
加群の種類
①単なる加群 環$ \mathbb{Z} 上の加群
②群上の加群 ややマイナー?
③環状の加群 重要!ベクトル空間の一般化
④体上の加群 ベクトル空間
任意の加法群は③の意味で$ \mathbb{Z} -加群ではあるらしい。
任意の環$ \mathbb{Z} は、それ自身加法群なので、自身を係数としてつねに$ \mathbb{R} -加群である。
加法群(additive group)
$ \mathbb{Z} は整数
$ \mathbb{R} は実数
例:
ベクトル場の集合は関数環$ \mathbb{R} -加群
②群上の加群
加法群$ M 、群$ G 、$ a,b \in G, x \in M
$ G の各元が作用$ M → M を定める。
$ a : x \mapsto ax
(M1) 分配則 $ a(x + y) = ax + by
(M2) 作用の結合則: $ a(bx) = (ab)x
(M3) 単位元$ 1_G の作用: $ 1_G = x
恒等写像
加法群$ M 、環$ R 、$ a,b \in G, x \in M
$ R の各元が作用$ M → M を定める。
$ a : x \mapsto ax
(M1) 分配則 $ a(x + y) = ax + ay
$ x + y は$ M についての加法
(M2) 作用の結合則: $ a(bx) = (ab)x
(M3) 単位元$ 1_G の作用: $ 1_G = x
恒等写像
(M4) 作用の分配則: $ (a+b)x = ax + bx
$ a + b は$ R についての加法
加法の(G1)〜(G2)と作用の(M1)〜(M4) = 体K上のベクトル空間なので、もはや加群とは言わない。
確認用
Q. 加群
Q. $ \mathbb{Z} 加群
Q. $ \mathbb{R} 加群
Q. 環上の加群
M1
M2
M3
Q. 体上の加群
参考
基礎数学I 抽象代数メモ① 群・環・体 - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=PH7vP_4MDFw&t=656s
メモ