一般線形群 - pogi-log

一般線形群

一般線形群(いっぱんせんけいぐん、英: general linear group)

$ n \times n 正則行列全体の集合($ n は自然数)

実数を成分に持つ$ n \times n 正則行列全体の集合を$ GL_n(\mathbb{R}) と書く。

$ GL(n, \mathbb{R}) と書く場合もあるっぽい。

$ GL(n, \mathbb{R}) は行列の積について、群の性質である(G1)〜(G3)の性質を満たす。

(G1)結合律

$ A (BC) = (AB)C

(G2)単位元の存在

単位行列$ I_n を持つ

$ AB = I_n \land BA = I_n

(G3)逆元の存在

逆行列$ A^{-1} を持つ

$ AA^{-1} = I_n \land A^{-1}A = I_n

交換法則は満たさない

$ AB \ne BA

$ GL_n(\mathbb{Q}) 、$ GL_n(\mathbb{R}) 、$ GL_n(\mathbb{C}) は行列の積について群になる。

→$ GL_n(\mathbb{R}, \cdot) 、$ GL_n(\mathbb{R}, \cdot) 、$ GL_n(\mathbb{R}, \cdot)