一般線形群 - mrsekut-p

一般線形群

General Linear Group

$ n\times nの正則行列全体の集合

積に対しては結合律が成り立つ

$ \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})や$ \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})や$ \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})などと表記

n次の一般線形群

$ \mathbb{R}のときは、正則行列の成分が実数である場合のこと

定義

$ \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})|\det A\ne0\}

$ M_nは$ n次正方行列全体

$ A\in M_n(\mathbb{R})が正則$ \Leftrightarrow\det{A}\ne0

$ A\in M_n(\mathbb{Z})が正則$ \Leftrightarrow\det{A}\pm1

refの3.2参考

$ \det{A}\ne0ならば$ A\in M_n(\mathrm{Z})は$ M_n(Q)の要素としては正則

しかし逆行列$ A^{-1}は$ M_n(Q)に属するが$ \det{A}=\pm1でない限りは$ M_n(\mathbb{Z})には属さない

参考