ルベーグ積分の基礎のキソ
第0章予備知識（復習＋α）. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1集合の記号. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2可算集合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3上限（sup）と下限（inf）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
第1章リーマン積分vs.ルベーグ積分. . . . . . . . . . . . 11
1.1積分とは？. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2区間上のリーマン積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
$ f:[a,b]\to\R
1.3リーマン可積分性の判定方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4極限とリーマン積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5ルベーグ積分のアイディア. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
第2章ルベーグ外測度と可測集合. . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1ルベーグ測度に期待される性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2ルベーグ外測度の構成. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3可測集合とルベーグ測度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
第3章可測集合と可算加法性. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1可測集合の性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2有限加法性から可算加法性へ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
第4章可測関数(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1可測集合の性質（つづき）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2開集合，閉集合の可測性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3ルベーグ測度の単調性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4可測関数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
$ \overline\R:=\R\cup\{-\infty,\infty\}
無限大の演算規約
$ \forall a\in\R:|a|<\infty
$ \forall a\in\R:a\pm\infty=\pm\infty
$ \forall a,b\in\overline\R:a+b=b+a
$ \infty=-(-\infty)
$ \infty\cdot\infty=\infty
$ 0\cdot\infty=0
この演算規約の妥当性を知りたいtakker.icon
4.5演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
第5章可測関数(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1可測関数の性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2可測関数の極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3いたるところで… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4参考：非可測集合と非可測関数の構成. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.5演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
第6章ルベーグ積分(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1単関数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2非負単関数の積分．. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3ルベーグ積分の定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
第7章ルベーグ積分(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1非負可測関数の積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2可積分関数の積分の線形性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
第8章収束定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.1収束定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
第9章項別積分・リーマン積分. . . . . . . . . . . . . . . . 71 9.1関数項級数に対する積分の収束定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
第10章直積測度(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10.1フビニの定理に向けて. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.2 σ-加法族と測度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10.3直積と可測長方形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10.4演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
第11章直積測度(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.1直積外測度λ∗の性質，測度λの構成. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 11.2直積測度としての2次元ルベーグ測度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 11.3演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
第12章フビニの定理(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.1直積測度の積分表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.2フビニの定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.3演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
第13章フビニの定理(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13.1フビニの定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 13.2演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
付録A加法的集合関数とラドン・ニコディムの定理. . . . . . 101
A.1加法的集合関数（符合つき測度）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 A.2ハーン分解とジョルダン分解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 A.4演習問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105