拡大実数
$ \overline{\R}:=\R\cup\{\pm\infty\}
単に数式を簡潔に書くために導入している
無限大に発散するケースを場合分けして記述すると煩雑になるため
$ \pm\inftyに関する約束
$ \forall a\in\R:a+(\pm\infty)=(\pm\infty)+a=\pm\infty(複号同順)
$ (\pm\infty)+(\pm\infty)=\pm\infty(複号同順)
$ \forall a\in\R_+:a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a=\pm\infty(複号同順)
$ \forall a\in\R_-:a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a=\mp\infty(複号同順)
$ \forall a\in\R_{\neq0}:\frac{a}{\pm\infty}=0
$ \infty\cdot\infty=(-\infty)\cdot(-\infty)=\infty
$ (-\infty)\cdot\infty=\infty\cdot(-\infty)=-\infty
$ \forall a\in\R:-\infty<a<\infty
これより$ (\overline{\R},\le)は全順序集合をなす $ \Rでは
$ \mathcal N(x)=\Set{N\in2^\R|\exist\delta>0:B_\delta(x)\subseteq N}
とした
$ \overline{\R}では次のようにする
$ N\in\mathcal N(x)\iff\exist\delta>0:\begin{dcases}\rbrack\delta,\infty\rbrack\subseteq N&\text{if }x=\infty\\B_\delta(x)\subseteq N&\text{if }x\in\R\\\lbrack-\infty,\delta\lbrack\subseteq N&\text{if }x=-\infty\end{dcases}
(N1)$ \forall x\in X:\mathcal N(x)\neq\varnothing
$ \Rでの全近傍系を含むから自明
(N2)$ \forall x\in X\forall N\in\mathcal N(x):x\in N
定義より自明
このために$ \pm\inftyの部分を閉で定義している
(N3)$ \forall x\in X\forall N_1,N_2:(N_1,N_2\in\mathcal N(x)\iff N_1\cap N_2\in N(x))
まあ自明だな
(N4)$ \forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x):{N_1}^\circ\in\mathcal N(x)
問題はこいつか
$ \rbrack\delta,\infty\rbrack^\circ=\Set{x\in\overline{\R}|\rbrack\delta,\infty\rbrack\in\mathcal N(x)}
$ =\Set{x\in\overline{\R}|\exist\delta'>0:\begin{dcases}\rbrack\delta',\infty\rbrack\subseteq\rbrack\delta,\infty\rbrack&\text{if }x=\infty\\B_{\delta'}(x)\subseteq\rbrack\delta,\infty\rbrack&\text{if }x\in\R\\\lbrack-\infty,\delta'\lbrack\subseteq\rbrack\delta,\infty\rbrack&\text{if }x=-\infty\end{dcases}}
$ =\Set{x\in\overline{\R}|\exist\delta'>0:\begin{dcases}\rbrack\delta',\infty\rbrack\subseteq\rbrack\delta,\infty\rbrack&\text{if }x=\infty\\B_{\delta'}(x)\subseteq\rbrack\delta,\infty\rbrack&\text{if }x\in\R\end{dcases}\land x\neq-\infty}
$ =\rbrack\delta,\infty\rbrack
なるほど、閉な無限は開扱いになるのか
であればこれも成立する
空でない上に有界な$ A\subseteq\Rは$ \sup Aが存在する $ \exist x\in\R\forall a\in A:a\le xということ
これを$ \overline{\R}にすると
$ \forall A\in2^{\overline{\R}}\setminus\Set{\varnothing}:\sup A\in\overline{\R}
となる
$ \forall a\in\overline{\R}:x\le\inftyだから、どの$ \overline{\R}の部分集合も上に有界となる $ \sup A=\min\Set{x\in\overline{\R}|\forall a\in A:a\le x}で、もし$ \lnot\exist x\in\R\forall a\in A:a\le xであったとしても、$ \forall a\in A:x\le\inftyが常に成立するから、その時は$ \sup A=\inftyとなる
有限値との加減算は$ a+\infty=\inftyなどと直観的に定義しておく
その他、適宜well-definedになるよう定義を導入する