Riemann積分

初等的な普通の積分のこと

定義

伝統的に2つの流儀がある

どちらも区分求積法がベース

違いは極限の取り方

Darboux可積分：大きめに見積もった面積と小さめに見積もった面積を使って挟み撃ちする

任意の実有界閉区間$ Iと$ \forall f:I\to\R\forall x\in\mathcal P(I)にて、以下を定義する

Darbouxの上和(過剰和)：$ U(f,x):=\sum_{0<i\le N}\sup f^\to([x_{i-1},x_i])\varDelta x_i

Darbouxの下和(不足和)：$ L(f,x):=\sum_{0<i\le N}\inf f^\to([x_{i-1},x_i])\varDelta x_i

ここで↓とした

$ \mathcal P(I)：$ Iの区間の分割全体の集合

$ \varDelta x_i:=x_i-x_{i-1}：後進差分

$ \forall I\in\mathcal I\forall f:I\to\R\forall\mathcal I\in\mathcal P(I):

$ U(f,\mathcal I)=\sum_{{I'}\in\mathcal I}\sup f^\to(I')|I'|

$ L(f,\mathcal I)=\sum_{{I'}\in\mathcal I}\inf f^\to(I')|I'|

$ \mathcal P(I)\subseteq\mathcal A：$ Iの分割全体の集合

$ xの代表点列を$ tとして、Riemann和を$ S(f,x,t)とすると、常に↓が成り立つ

$ L(f,x)\le S(f,x,t)\le U(f,x)

図にすれば当たり前

TODO: 証明書く

こっちの流儀で興味深い解釈がある？takker.icon

Darboux上積分$ \overline{\int_I}f(x)\mathrm dx:=\inf_{x\in\mathcal P(I)} U(f,x)

Darboux下積分$ \underline{\int_I}f(x)\mathrm dx:=\sup_{x\in\mathcal P(I)} L(f,x)

この流儀の利点

Darbouxの上積分・下積分は常に存在するので、「分割の極限が存在したら」という仮定が不要

$ \overline{\int_I}f(x)\mathrm dx=\underline{\int_I}f(x)\mathrm dxのとき、Darboux可積分という

このとき$ \text{D-}\int_If(x)\mathrm dx:=\overline{\int_I}f(x)\mathrm dx=\underline{\int_I}f(x)\mathrm dxとして、Darboux積分と呼ぶ

Riemann可積分とDarboux可積分は同値なので、Darboux積分とRiemann積分をどちらも区別せず$ \int_If(x)\mathrm dxと表記する