左半開区間全体の集合

$ \overline{\mathcal E}_d:=\Set{I|\exist a_\bullet,b_\bullet\in\overline{\R}^\N:I=\prod_{1\le i\le d}\rbrack a_i,b_i\rbrack}

性質

$ \overline{\mathcal E}=\Set{I|\exist a,b\in\overline{\R}:I=\rbrack a,b\rbrack}

$ I_1,I_2\in\overline{\mathcal E}

$ \iff\exist a_1,a_2,b_1,b_2\in\overline{\R}:

$ \begin{dcases}I_1=\rbrack a_1,b_1\rbrack\\I_2=\rbrack a_2,b_2\rbrack\end{dcases}

$ \implies\exist a_1,a_2,b_1,b_2\in\overline{\R}:

$ I_1\cap I_2=\rbrack\max\Set{a_1,a_2},\min\Set{b_1,b_2}\rbrack

$ \implies I_1\cap I_2\in\overline{\mathcal E}

$ A,B\in\overline{\mathcal E}

$ \iff\exist a_1,a_2,b_1,b_2\in\overline{\R}:

$ \begin{dcases}A=\rbrack a_1,b_1\rbrack\\B=\rbrack a_2,b_2\rbrack\end{dcases}

$ \implies\exist a_1,a_2,b_1,b_2\in\overline{\R}:

$ A\setminus B=\Set{x\in\overline{\R}|a_1<x\le b_1\land(x\le a_2\lor b_2<x)}

$ =\Set{x\in\overline{\R}|a_1<x\le\min\Set{b_1,a_2}\lor\max\Set{a_1,b_2}<x\le b_1}

$ =\rbrack a_1,\min\Set{b_1,a_2}\rbrack\cup\rbrack\max\Set{a_1,b_2},b_1\rbrack

$ =\begin{dcases}\rbrack a_1,\min\Set{b_1,a_2}\rbrack\sqcup\rbrack\max\Set{a_1,b_2},b_1\rbrack&\text{if }\min\Set{b_1,a_2}<\max\Set{a_1,b_2}\\\rbrack a_1,b_1\rbrack&\text{otherwise}\end{dcases}

$ \implies\exist S_\bullet:\N_{\le n}\to\overline{\R}:A\setminus B=\bigsqcup_{1\le i\le n}S_i