集合環 - くたくたじゅうよん

集合環

基本的な集合演算で閉じている集合系のこと

定義A

以下を満たす集合$ X上の部分集合系$ \mathcal R\in2^{2^X}を集合環(ring of sets)という

(R1)$ \varnothing\in\mathcal R∅∈ℛ

$ \mathcal R\neq\varnothingと替えても同値

(R2)$ \forall A,B\in\mathcal R:A\cup B\in\mathcal R∀R1,R2∈ℛ(R1∪R2∈ℛ)

(R3)$ \forall A,B\in\mathcal R:A\setminus B\in\mathcal R∀R1,R2∈ℛ(R1∖R2∈ℛ)

同値な定義が複数存在する

定義B

(R1)$ \varnothing\in\mathcal R

(R4)$ \forall A,B\in\mathcal R:A\cap B\in\mathcal R

(R5)$ \forall A,B\in\mathcal R:A\Delta B\in\mathcal R

全体集合$ Xを含まない有限加法族ともいえる

性質

$ \iff\forall R_1,R_2\in\mathcal R:R_1\setminus R_2=\bigsqcup\Set{R_1\setminus R_2}

$ \implies\forall R_1,R_2\in\mathcal R\exist\mathcal R'\subseteq\mathcal R:|\mathcal R'|\in\N\land R_1\setminus R_2=\bigsqcup\mathcal R'

$ \iff(S3)

References