RCE-2022S-3
目標
3 材料力学の復習 応力とひずみ
材料力学と設計の問題を考える上で必須の応力とひずみの概念を再確認する。はり内部に生じる応力の計算例題を理解する
1. 曲げモーメントを受ける断面の維ひずみはどのように考えるか? 直観的に考えると、曲げモーメントが正のとき下図のように変形する
https://kakeru.app/dfb39a4b4fbe2dc8455b02032f3bf09b https://i.kakeru.app/dfb39a4b4fbe2dc8455b02032f3bf09b.svg
このときの各梁方向の変位を元の長さで割った$ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}を、維ひずみ$ \varepsilonと考える
引張側では$ \varepsilon>0、圧縮側では$ \varepsilon<0となる
以上のざっくりとした説明を、連続体力学の枠組みで厳密に導出する
後でやろうtakker.icon
2023-04-09 22:40:13 何ページ目だ？
準備
座標系の設定
梁方向にx軸、鉛直下向きにy軸、右ねじの方向(つまり奥向き)にz軸をとる
各軸にそって、正規直交基底$ \{\pmb{e}_x, \pmb{e}_y,\pmb{e}_z\}を設定する
記法の設定
tensor積$ \otimesを省略し、$ \pmb{a}\otimes\pmb{A}を$ \pmb{a}\pmb{A}と書く 代わりに行列積$ \pmb{A}\pmb{B}を$ \pmb{A}\cdot\pmb{B}と書く tensorの勾配を$ \pmb{\nabla}\pmb{T}:=\sum_i\pmb{e}_i\frac{\partial\pmb{T}}{\partial X_i}と定義する
物理量の設定
変形前の梁の物質点を$ \pmb{X}(=X\pmb{e}_x+Y\pmb{e}_y+Z\pmb{e}_z)とする
変形前の位置$ x=Xにおける、x軸に垂直な梁の断面を$ S(X)とする
$ S(X)の幾何中心(図心)を$ \pmb{X}_c(=X\pmb{e}_x+Y_c\pmb{e}_y+Z_c\pmb{e}_z)とする $ \pmb{X}の変位を$ \pmb{u}(=u_x\pmb{e}_x+u_y\pmb{e}_y+u_z\pmb{e}_z)、$ \pmb{X}_cの変位を$ \pmb{u}_c(=u_{cx}\pmb{e}_x+u_{cy}\pmb{e}_y+u_{cz}\pmb{e}_z)とする
微小ひずみtensor$ \pmb{\varepsilon}:=\frac12(\pmb{\nabla}\pmb{u}+(\pmb{\nabla}\pmb{u})^\top)の各成分を、
$ \varepsilon_{ij}:=\pmb{\varepsilon}:\pmb{e}_i\pmb{e}_j
と定義する
仮定
$ \varepsilon_{zx}=\varepsilon_{xy}=0ー①
$ S(X)と中立面が常に直交する
この仮定がないと、以下のように梁断面が傾いてしまうかもしれない
https://kakeru.app/32cbd5aac0e562f7f0f28b558042a5ae https://i.kakeru.app/32cbd5aac0e562f7f0f28b558042a5ae.svg
https://kakeru.app/72b3a89fe54ff0b68e15a857e2a1ee47 https://i.kakeru.app/72b3a89fe54ff0b68e15a857e2a1ee47.svg
この図はわかりにくい
z軸まわりの回転は可能なので、この図を見ると矛盾しているように感じる
この図では、断面のみが回転し中立面と垂直でなくなるようなことはないということを主張したかった
升目を使った図のほうがわかりやすいかも
参考文献先の図
$ \varepsilon_{yy}=\varepsilon_{yz}=\varepsilon_{zz}=0ー②
$ S(X)面内でのひずみが全て0
$ S(X)は剛体運動しかしない
$ |\mathrm{d}\pmb{u}|\ll|\mathrm{d}\pmb{X}|ー③
x-y平面の変形のみを考える
$ u_z=0ー④
導出
変位$ \pmb{u}の導出
$ ②\land③より、変形後の平面$ S(X+\mathrm{d}X)内の任意の位置は、変形前の位置$ \pmb{X}の並進運動と幾何中心周りの微小回転運動のみで表せる
$ \therefore 変形後の位置=\pmb{u}+\pmb{X}
$ =\underbrace{\pmb{u}_c}_{並進運動}+\underbrace{\pmb{\theta}\times(\pmb{X}-\pmb{X}_c)}_{微小回転運動}+\pmb{X}
$ \pmb{\theta}は$ Xを変数とする回転vector
$ \implies \pmb{u}=\pmb{u}_c+\pmb{\theta}\times(\pmb{X}-\pmb{X}_c)ー⑥
$ \pmb{\theta}//\pmb{e}_xだとねじり運動になる https://kakeru.app/04e8210700d5f06bdc56dfe45bf31d7d https://i.kakeru.app/04e8210700d5f06bdc56dfe45bf31d7d.svg
$ ⑥\land④より、z方向への変位が0なので、微小回転はz軸周りのみに限定される
$ \therefore \pmb{u}=\pmb{u}_c+\theta\pmb{e}_z\times(\pmb{X}-\pmb{X}_c)ー⑦
$ \thetaはz軸周りの微小回転を表すパラメタで、たわみ角に相当する $ ⑦\implies \pmb{\nabla}\pmb{u}=\pmb{\nabla}\pmb{u}_c+\theta\pmb{e}_z\times(\pmb{\nabla}(\pmb{X}-\pmb{X}_c))^\top-(\pmb{X}-\pmb{X}_c)\times(\pmb{\nabla}\theta\pmb{e}_z)^\top
$ =\pmb{\nabla}\pmb{u}_c+\theta\pmb{e}_z\times\left(\pmb{I}-\pmb{e}_x\frac{\partial \pmb{X}_c}{\partial X}\right)^\top-(\pmb{X}-\pmb{X}_c)\times\left(\frac{\partial \theta}{\partial X}\pmb{e}_x\pmb{e}_z\right)^\top
$ \because\frac{\partial \pmb{X}_c}{\partial Y}=\frac{\partial \pmb{X}_c}{\partial Z}=\pmb{0}より$ \pmb{\nabla}\pmb{X}_c=\pmb{e}_x\frac{\partial \pmb{X}_c}{\partial X}
$ \pmb{X}_cは$ Xのみの関数
$ \because\frac{\partial\theta}{\partial Y}=\frac{\partial\theta}{\partial Z}=0より$ \pmb{\nabla}\theta=\frac{\partial \theta}{\partial X}\pmb{e}_x
同じく$ Xのみに依存したパラメタ
$ =\pmb{\nabla}\pmb{u}_c+\theta\pmb{e}_z\times\left(\pmb{I}-\frac{\partial \pmb{X}_c}{\partial X}\pmb{e}_x\right)-(\pmb{X}-\pmb{X}_c)\times\left(\frac{\partial \theta}{\partial X}\pmb{e}_z\pmb{e}_x\right)
$ =\pmb{\nabla}\pmb{u}_c+\theta\left(\pmb{e}_y\pmb{e}_x-\pmb{e}_x\pmb{e}_y-\pmb{e}_y\pmb{e}_x+\frac{\partial Y_c}{\partial X}\pmb{e}_x\pmb{e}_x\right)-(Y-Y_c)\frac{\partial \theta}{\partial X}\pmb{e}_x\pmb{e}_x
$ =\pmb{\nabla}\pmb{u}_c-\theta\left(\pmb{e}_x\pmb{e}_y-\frac{\partial Y_c}{\partial X}\pmb{e}_x\pmb{e}_x\right)-(Y-Y_c)\frac{\partial \theta}{\partial X}\pmb{e}_x\pmb{e}_xー⑧
$ ①\land②より$ \pmb{\varepsilon}=\varepsilon_{xx}\pmb{e}_x\pmb{e}_x(ー⑨)となる
これと⑧を、微小ひずみtensorの定義式$ \pmb{\varepsilon}:=\frac12(\pmb{\nabla}\pmb{u}+(\pmb{\nabla}\pmb{u})^\top)に代入する
$ \varepsilon_{xx}\pmb{e}_x\pmb{e}_x=\frac12(\pmb{\nabla}\pmb{u}_c+(\pmb{\nabla}\pmb{u}_c)^\top)-\frac12\theta(\pmb{e}_x\pmb{e}_y+\pmb{e}_y\pmb{e}_x)+\left(\theta\frac{\partial Y_c}{\partial X}-(Y-Y_c)\frac{\partial \theta}{\partial X}\right)\pmb{e}_x\pmb{e}_x
$ \implies\begin{dcases}\varepsilon_{xx}&=\frac{\partial u_{cx}}{\partial X}+\theta\frac{\partial Y_c}{\partial X}-(Y-Y_c)\frac{\partial \theta}{\partial X}\\0&=\frac{\partial u_{cx}}{\partial Y}+\frac{\partial u_{cy}}{\partial X}-\theta\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}\varepsilon_{xx}&=\frac{\partial u_{cx}}{\partial X}+\theta\frac{\partial Y_c}{\partial X}-(Y-Y_c)\frac{\partial \theta}{\partial X}\\\theta&=\frac{\partial u_{cy}}{\partial X}\end{dcases}
$ \because\pmb{u}_cは$ Xで一意に決まるパラメタだから$ \frac{\partial u_{cx}}{\partial Y}=0
$ \implies\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u_{cx}}{\partial X}+\frac{\partial Y_c}{\partial X}\frac{\partial u_{cy}}{\partial X}-(Y-Y_c)\frac{\partial^2 u_{cy}}{{\partial X}^2}
$ u_{cy}がたわみに相当する
見やすくするために、記号を導入する
$ \varepsilon_{cxx}:=\left.\varepsilon_{xx}\right|_{\pmb{X}=\pmb{X}_c}
$ \pmb{\varepsilon}_c:=\left.\pmb{\varepsilon}\right|_{\pmb{X}=\pmb{X}_c}=\varepsilon_{cxx}\pmb{e}_x\pmb{e}_x
$ \because⑨
$ \pmb{\omega}_c:=\pmb{\nabla}\pmb{u}_c-\pmb{\varepsilon}_c,\ \omega_{cij}:=\pmb{\omega}_c:\pmb{e}_i\pmb{e}_j
$ (i,j)\neq(x,x)で$ \omega_{cij}=\pmb{\nabla}\pmb{u}_c:\pmb{e}_i\pmb{e}_jとなる
$ \frac{\mathrm{d}Y_c}{\mathrm{d}X}=\frac{\partial Y_c}{\partial X}
$ \bullet':=\frac{\mathrm{d}\bullet}{\mathrm{d}X}
$ \underline{\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{cxx}+Y_c'\theta-(Y-Y_c)\theta'\quad}_\blacksquareー⑩
第1項：幾何中心における垂直ひずみ
第2項：幾何中心のy軸方向のブレによる補正項
今回、断面形状を一様にせずに計算したため、断面によって幾何中心の高さが異なる
その影響がこの項に反映されている
この項はおかしいtakker.icon
$ Y=Y_cのとき$ \varepsilon_{xx}=\varepsilon_{cxx}にならなければならないが、結果が食い違う
今度調べよう
第3項：ひずみの三角形分布に寄与する項
たわみ角$ \thetaは、微小回転tensorのz軸周り成分$ \omega_{cxy}と等しい たわみ$ u_{cy}の曲がり具合$ u_{cy}''(=\theta')が直線の傾きとなる $ \theta'+\frac1\rho=0
$ \thetaの符号を時計回り正にとっているので、曲率と符号が逆になる
https://kakeru.app/a448d4475b514839d055fd734e5f0699 https://i.kakeru.app/a448d4475b514839d055fd734e5f0699.svg
梁断面の幾何中心の高さが一定だとし、同じ高さにx軸を平行移動する($ Y_c=0ー⑪)と、ひずみの三角形分布は以下のように簡略化される $ \varepsilon_{xx}=\varepsilon_{cxx}-Y\theta'
定数項$ \varepsilon_{cxx}の存在
このギャップは、「x軸方向の荷重が存在しない」という条件を課すと解消される
x軸方向に荷重が存在しなければ、軸力$ Nが任意の位置で0になる($ N=0ー⑫)
これとHookeの法則$ \sigma_{xx}=E\varepsilon_{xx}(ー⑬)とを組むと、 $ \pmb{\sigma}=\frac{2G\nu}{1-2\nu}\mathrm{tr}(\pmb{\varepsilon})\pmb{I}+2G\pmb{\varepsilon}=\frac{2G\nu}{1-2\nu}\varepsilon_{xx}\pmb{I}+2G\varepsilon_{xx}\pmb{e}_xなので、結局
$ \sigma_{xx}=\pmb{\sigma}\cdot\pmb{e}_x=\frac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}\varepsilon_{xx}となり同じ結果に……ならないじゃないか！takker.icon
ま、まあ、どちらにせよ軸力0で定数項が消えることは示せる
$ \forall X;0=N=\int_{S(X)}\sigma_{xx}\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ =\int_{S(X)}E\varepsilon_{xx}\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ =\int_{S(X)}E\varepsilon_{cxx}\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ \because第2項は$ Yについて点対称なので0になる
$ =E\varepsilon_{cxx}\int_{S(X)}\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ \because \varepsilon_{cxx}は$ Xのみの函数
$ \therefore \varepsilon_{cxx}=0
$ \underline{\therefore \varepsilon_{xx}=-Y\theta'\quad}_\blacksquareー⑭
逆に言うと、梁を引っ張りながら曲げると、中立面の垂直ひずみ$ \varepsilon_{cxx}が現れるということである
2. ①～④の仮定の下で、曲げmomentと梁断面の垂直応力との関係式を導出する
$ \pmb{M}:=-\int_{S(X)}(\pmb{X}-\pmb{X}_c)\times(\pmb{\sigma}\cdot\mathrm{d}\pmb{S})
$ =-\int_{S(X)}(\pmb{X}-\pmb{X}_c)\times(\pmb{\sigma}\cdot\pmb{e}_x)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ =-\int_{S(X)}((Y-Y_c)\pmb{e}_y+(Z-Z_c)\pmb{e}_z)\times(E\varepsilon_{xx}\pmb{e}_x)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
⑬を代入した
$ (X-X_c)\pmb{e}_xは$ \pmb{e}_xと平行なので消える
$ =-\int_{S(X)}(-(Y-Y_c)\pmb{e}_z+(Z-Z_c)\pmb{e}_y)(E\varepsilon_{xx})\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ =-E\int_{S(X)}(-(Y-Y_c)\pmb{e}_z+(Z-Z_c)\pmb{e}_y)(\varepsilon_{cxx}+Y_c'\theta-(Y-Y_c)\theta')\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
⑩を代入した
$ =-E(\varepsilon_{cxx}+Y_c'\theta)\int_{S(X)}(-(Y-Y_c)\pmb{e}_z+(Z-Z_c)\pmb{e}_y)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z\\+E\theta'\int_{S(X)}(Y-Y_c)(-(Y-Y_c)\pmb{e}_z+(Z-Z_c)\pmb{e}_y)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ Xの函数を積分の外に出した
$ =0+E\theta'\int_{S(X)}(Y-Y_c)(-(Y-Y_c)\pmb{e}_z+(Z-Z_c)\pmb{e}_y)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ \because\int_{S(X)}\pmb{X}\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z=\pmb{X}_c\int_{S(X)}\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ \iff \int_{S(X)}(\pmb{X}-\pmb{X}_c)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z=\pmb{0}
$ \iff \int_{S(X)}(Y-Y_c)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z=\int_{S(X)}(Z-Z_c)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z=0
これで第1項が消える
$ =E\theta'(-I_{yy}\pmb{e}_z+I_{yz}\pmb{e}_y)
$ I_{yy}:=\int_{S(X)}(Y-Y_c)^2\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
$ I_{yz}:=\int_{S(X)}(Y-Y_c)(Z-Z_c)\mathrm{d}Y\mathrm{d}Z
なにこれtakker.icon
cf. 手書き計算メモ
https://kakeru.app/4e3cafc16fe8ff549dcebe45ee28678c https://i.kakeru.app/4e3cafc16fe8ff549dcebe45ee28678c.svg
謎の項$ I_{yz}が発生してしまったtakker.icon
$ S(X)が特殊な条件でないと消えないぞ……
時間がないので、$ I_{yz}=0と仮定して進める
座標軸と(いわゆる)断面の慣性主軸とが一致しないときに発生する 通常は主軸と一致するような断面しか考えないから、考慮不良
x-y平面上の曲げモーメントは$ M=-E\theta'I_{yy}(ー⑮)となる
$ \underline{\sigma_{xx}=E\varepsilon_{cxx}+Y_c'\int\frac{M}{I_{yy}}\mathrm{d}X+\frac{M}{I_{yy}}(Y-Y_c)\quad}_\blacksquare
$ \sigma_{xx}=\frac{M}{I_{yy}}Yー⑯
このとき、ひずみのない面が梁内部に存在し、これを中立面と呼ぶ
z-x平面と平行になる
⑫(軸力が作用しない)も追加すると、中立面はz-x平面上に配置される
前提条件から導出される式⑩からわかる通り、梁断面の幾何中心にブレがあると、中立面は曲面になる
例
$ Y_c=\sin X
$ \varepsilon_{xx}=\varepsilon_{cxx}+\theta\cos X-(Y-\sin X)\theta'
$ \varepsilon_{xx}=0\iff \pmb{\varepsilon}=0\implies Y=\sin X+\frac{\varepsilon_{cxx}+\theta\cos X}{\theta'}なので、中立面は波打つような曲面になる
$ Y_c=\alpha X
$ \varepsilon_{xx}=\varepsilon_{cxx}+\alpha\theta-(Y-\alpha X)\theta'
$ \varepsilon_{xx}=0\iff \pmb{\varepsilon}=0\implies Y=\alpha X+\frac{\varepsilon_{cxx}+\alpha\theta}{\theta'}なので、中立面は梁内部を斜めに通る平面になる
弾性設計法における、鉄筋コンクリート構造物の弾性係数の設定方法 1次元の伸縮変形だけを考えるとする
2022-10-12 10:33:43 弾性解析するときは剪断変形を考えるけど、設計では考えなくていいそうだ
鉄筋コンクリートは複合体なので、⑯をそのまま適用できない
「鉄筋とコンクリートの微小ひずみは等しい」と仮定する
$ E_cをコンクリートのyoung率、$ E_sを鉄筋のyoung率、$ n:=\frac{E_s}{E_c}をYoung率比とする このとき、中立軸周りの曲げmoment$ Mは
$ M=\int_Sy\sigma_{xx}\mathrm{d}S
$ =\int_{concrete}y\sigma_{xx}\mathrm{d}S+\int_{鉄筋}y\sigma_{xx}\mathrm{d}S
$ S=concrete+鉄筋として分解した
$ =\int_{concrete}yE_c\varepsilon_{xx}\mathrm{d}S+\int_{鉄筋}ynE_c\varepsilon_{xx}\mathrm{d}S
コンクリート側は$ \sigma_{xx}=E_c\varepsilon_{xx}、鉄筋側は$ \sigma_{xx}=E_s\varepsilon_{xx}=nE_c\varepsilon_{xx}
$ =-E_c\theta'\left(\int_{concrete}+n\int_{鉄筋}\right)y^2\mathrm{d}S
⑮を代入した
となる。
ここで、領域$ 鉄筋の面積を$ n倍した新しい領域$ 鉄筋^*を考えれば、一つの領域$ S^*:=concrete+鉄筋^*で断面2次momentを表せるようになる
$ \therefore M=-E_c\theta'\int_{S^*}y^2\mathrm{d}S=:-E_c\theta'I_{e}
$ \underline{\varepsilon_{xx}=\frac{M}{E_cI_e}y\quad}_\blacksquare
コンクリート領域および鉄筋領域の応力分布は⑬より次のようになる
$ \sigma_c'=E_c\varepsilon_{xx}=\frac{M}{I_e}y
$ \sigma_s'=E_s\varepsilon_{xx}=n\frac{M}{I_e}y=n\sigma_c
引張縁応力は$ \sigma_s=n\frac{M}{I_e}(d-x) 複合材料の効果を換算断面2次moment$ I_eに押し込めたので、応力は構成則(⑬)に換算したひずみの三角形分布を入れるだけで求められるようになった 計算メモ
https://kakeru.app/3cea94f08308313567f5f4094d710927 https://i.kakeru.app/3cea94f08308313567f5f4094d710927.svg