初等梁のたわみの微分方程式

Bernoulli-Euler梁のたわみ$ u_{y0}を導出する微分方程式

$ y軸回りの曲げが存在しないときの式：

$ M_c+EI_{cyy}{u_{y0}}''=0

$ M_c:=\int_B(y-y_c)\sigma_{xx}\mathrm dA：断面$ Bにおける図心を通る$ z軸回りの曲げmoment

鉛直下向きに$ y軸をとったとき、下部が引張で上部が圧縮になるような曲げのとき正になるよう定義している

$ y_c:=\frac1B\int_B y\mathrm dA：断面$ Bの図心の$ y成分

$ I_{cyy}:=\int_B(y-y_c)^2\mathrm dA：断面$ Bの図心を通る$ z軸周りの断面2次moment

$ B:=\int_B\mathrm dA：断面$ Bの$ yz平面への投影面積

$ u_{y0}：$ z=0における$ y軸方向変位

たわみのことtakker.icon

$ y以外全て$ xの函数

断面$ BやYoung率$ Eも$ xに依存していい

$ z_cは$ xに依存しない任意の値で成立する

梁方向に$ x軸、鉛直下向きに$ y軸、奥行に$ z軸をとっている

この式は、任意の断面形状に加え、図心が断面によって異なる場合でも成立する

導出

$ u_x(x,y,z)=-{u_{y0}}'y-{u_{z0}}'z+u_x(x,0,0)

$ u_y(x,z)=\xi_{zy}z+u_{y0}(x)

$ u_z(x,y)=\xi_{yz}y+u_{z0}(x)

$ \xi_{yz}=\rm const.

$ \xi_{\bullet\bullet}：微小回転tensorの成分

$ u_{y0}(x):=u_y(x,0)

$ u_{z0}(x):=u_z(x,0)

$ \sigma_{xx}=E\varepsilon_{xx}

$ =E\frac{\partial u_x}{\partial x}

$ = -E{u_{y0}}''y-E{u_{z0}}''z+E(u_x(x,0,0))'

$ u_{z0}'=\rm const.として

$ \sigma_{xx}=-E(u_{y0})''y+E(u_x(x,0,0))'

$ N,M_cを求める

$ N=\int_B\sigma_{xx}\mathrm dA

$ =E{u_{y0}}''\int_B y\mathrm dA+E(u_x(x,0,0))'B

$ =E{u_{y0}}''y_cB+E(u_x(x,0,0))'B

$ Nで$ \sigma_{xx}から$ (u_x(x,0,0))'を消去する

$ \sigma_{xx}=-E{u_{y0}}''(y-y_c)+\frac NB

$ = -E{u_{y0}}''(y-y_c)+\overline{\sigma_{xx}}

$ \overline{\sigma_{xx}}:=\frac{N}{B}断面平均した垂直応力

$ M_c=\int_B(y-y_c)\sigma_{xx}\mathrm dA

$ =-E{u_{y0}}''\int_B(y-y_c)^2\mathrm dA+\overline{\sigma_{xx}}\int_B(y-y_c)\mathrm dA

$ =-E{u_{y0}}''I_{cyy}+\overline{\sigma_{xx}}\cdot0

$ =-E{u_{y0}}''I_{cyy}

$ \underline{\therefore M_c+EI_{cyy}{u_{y0}}''=0\quad}_\blacksquare

多分$ M_{cz}+EI_{cyy}(\xi_{yx})'+EI_{cyz}(\xi_{zx})'=0になるはず

あと$ M_{cy}+EI_{czy}(\xi_{yx})'+EI_{czz}(\xi_{zx})'=0も

$ I_{cy}を消去すると$ M_{cz}(\xi_{yx})'+EI_{cyy}(\xi_{yx})'^2=M_{cy}(\xi_{zx})'+EI_{czz}(\xi_{zx})'^2になる