線型等方弾性体の弾性tensor
証明
4階等方tensorより$ {\cal\pmb C}=\lambda\pmb I\pmb I+\mu\tilde{\cal\pmb I}+\mu'{\cal\pmb I}と表せる。 一方、ひずみtensorの対称性より$ {\cal C}_{ijkl}={\cal C}_{ijlk}だから
$ \lambda\pmb I\pmb I+\mu\tilde{\cal\pmb I}+\mu'{\cal\pmb I}=\lambda\pmb I\pmb I+\mu{\cal\pmb I}+\mu'\tilde{\cal\pmb I}
$ \implies \mu=\mu'
$ \implies{\cal\pmb C}=\lambda\pmb I\pmb I+\mu(\tilde{\cal\pmb I}+{\cal\pmb I})
$ =\lambda\pmb I\pmb I+2\mu{\cal\pmb S}
$ \underline{\therefore{\cal\pmb C}=\lambda\pmb I\pmb I+2\mu{\cal\pmb I}\quad}_\blacksquare
$ {\cal\pmb C}は対称tensor$ \pmb\varepsilonと縮約をとるため、$ {\cal\pmb I}に差し替えた
table:弾性係数の意味
$ {\cal\pmb C}=\lambda\pmb I\pmb I+2\mu{\cal\pmb I}
物理的な意味はないらしい
解釈を作れないのか?
変換
$ (\nu,G)\mapsto(\lambda,\mu)
$ \lambda=2G\frac{\nu}{1-2\nu}
$ \mu=G
$ (K,G)\mapsto(\lambda,\mu)
$ \lambda=\frac13(3K-2G)
$ \mu=G
$ (E,\nu)\mapsto(\lambda,\mu)
$ \lambda=\frac{E}{1+\nu}\frac{\nu}{1-2\nu}
$ \mu=\frac12\frac{E}{1+\nu}
$ {\cal\pmb C}=\frac13(3K-2G)\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb I}
$ {\cal\pmb C}= \frac133K\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb D}
こっちのほうがきれい
$ \mathrm{tr}\pmb\sigma=3K\mathrm{tr}\pmb\varepsilon
$ \iff\frac13\mathrm{tr}\pmb\sigma=K\mathrm{tr}\pmb\varepsilon
$ \frac13\mathrm{tr}\pmb\sigmaは等方応力 $ \mathrm{tr}\pmb\varepsilonは体積ひずみに当たる $ {\cal\pmb D}:\pmb\sigma=2G{\cal\pmb D}:\pmb\varepsilon
$ \mathrm{tr}\pmb\sigma=\mathrm{tr}(\lambda(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I+2\mu\pmb\varepsilon)
$ = 3\lambda\mathrm{tr}\pmb\varepsilon+2\mu\mathrm{tr}\pmb\varepsilon
$ = (3\lambda+2\mu)\mathrm{tr}\pmb\varepsilon
$ \implies 3K=3\lambda+2\mu
$ {\cal\pmb D}:\pmb\sigma=\pmb\sigma-\frac13(\mathrm{tr}\pmb\sigma)\pmb I
$ = \lambda(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I+2\mu\pmb\varepsilon-\frac13K(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I
$ = 2\mu\pmb\varepsilon+\left(\lambda-\lambda-\frac23\mu\right)(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I
$ = 2\mu\left(\pmb\varepsilon-\frac13(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I\right)
$ = 2\mu{\cal\pmb D}:\pmb\varepsilon
$ \implies G=\mu
$ \therefore\lambda=K-\frac23G
$ {\cal\pmb D}で書き換える
$ {\cal\pmb C}=\frac13(3K-2G)\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb I}
$ =K\pmb I\pmb I+2G\left({\cal\pmb I}-\frac13\pmb I\pmb I\right)
$ = K\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb D}
こうすると、$ Kや$ 2Gが分離して出てくる様子がわかりやすくなる
$ \pmb I:{\cal\pmb C}=K\pmb I+2G\pmb O=K\pmb I
偏差tensorのtraceは0なので$ \pmb I:{\cal\pmb D}=\pmb O
補足:$ \pmb Oはゼロtensor
$ {\cal\pmb D}:{\cal\pmb C}=K\pmb O+2G{\cal\pmb D}=2G{\cal\pmb D}
偏差tensorの偏差tensorは偏差tensor
$ {\cal\pmb C}= \frac133K\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb D}
$ {\cal\pmb C}^{-1}= \frac13\frac1{3K}\pmb I\pmb I+\frac1{2G}{\cal\pmb D}
変換
$ (E,\nu)\mapsto(K,G)
$ K=\frac13\frac{E}{1-2\nu}
$ G=\frac12\frac{E}{1+\nu}
特殊な条件
体積圧縮不能
$ K=\inftyとも等価
$ \nu=\frac12\implies K_0=1
側方拘束時に等方応力状態になる
$ \nu=\frac12\implies E_c=\infty
側方拘束時、垂直方向にもひずみを発生させられなくなる
事実上の剛体化
$ E$ \nuと独立なので不定値である
$ \nu=-1で剪断変形が発生しない
変換
$ (K,G)\mapsto(E_c,K_0)
$ E_c=\frac13(3K+4G)
$ K_0=\frac{3K-2G}{3K+4G}
$ (E,\nu)\mapsto(E_c,K_0)
$ E_c=\frac{1-\nu}{1+\nu}\frac{E}{1-2\nu}
$ K_0=\frac{\nu}{1-\nu}
$ E_cK_0=\lambda
$ {\cal\pmb C}^{-1}= \frac1E{\cal\pmb I}+\frac\nu E({\cal\pmb I}-\pmb I\pmb I)
変換
$ (\lambda,\mu)\mapsto(E,\nu)
$ E=\frac{\mu}{\lambda+\mu}(3\lambda+2\mu)
$ =2\mu(1+\nu)
$ \nu=\frac12\frac{\mu}{\lambda+\mu}
$ (K,G)\mapsto(E,\nu)
$ E=\frac{9KG}{3K+G}
$ \nu=\frac{3K-2G}{6K+2G}
$ (E_c,K_0)\mapsto(E,\nu)
$ E=\frac{1-K_0}{1+K_0}(1+2K_0)E_c
$ \nu=\frac{K_0}{1+K_0}
$ 1+\nu=1+\frac{3K-2G}{6K+2G}=\frac{9K}{6K+2G}=\frac92\frac{K}{3K+G}=\frac{E}{2G}
$ 1-\nu=\frac{2G-3K+6K+2G}{6K+2G}=\frac{3K+4G}{6K+2G}=\frac{\nu}{K_0}
$ \frac{1+\nu}{1-\nu}=\frac{EK_0}{2G\nu}=\frac{3K}{E_c}=\frac{9K}{3K+4G}
$ \frac{1-K_0}{1+K_0}(1+2K_0)=\frac{1+K_0-2K_0^2}{1+K_0}=-\frac{2(K_0+1)^2-5(K_0+1)+4}{K_0+1}=2(K_0+1)-5+\frac4{K_0+1}
Reference