線型等方弾性体の弾性tensor

証明

$ \lambda\pmb I\pmb I+\mu\tilde{\cal\pmb I}+\mu'{\cal\pmb I}=\lambda\pmb I\pmb I+\mu{\cal\pmb I}+\mu'\tilde{\cal\pmb I}

$ \implies \mu=\mu'

$ \implies{\cal\pmb C}=\lambda\pmb I\pmb I+\mu(\tilde{\cal\pmb I}+{\cal\pmb I})

$ =\lambda\pmb I\pmb I+2\mu{\cal\pmb S}

$ \underline{\therefore{\cal\pmb C}=\lambda\pmb I\pmb I+2\mu{\cal\pmb I}\quad}_\blacksquare

table:弾性係数の意味

$ {\cal\pmb C}=\lambda\bm I\bm I+2G{\cal\pmb I}

$ =\lambda\bm{I}\bm{I}+2G{\cal\pmb S}+2G{\cal\pmb W}

$ =K\bm I\bm I+2G{\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}+2G{\cal\pmb W}

$ =E_cK_0\bm{I}\bm{I}+(1-K_0)E_c{\cal\pmb S}+(1-K_0)E_c{\cal\pmb W}

$ {\pmb\cal C}^{-1}=-\frac{\lambda}{2G}\frac{1}{(\mathrm{tr}\bm I)\lambda+2G}\bm{I}\bm{I}+\frac{1}{2G}{\cal\pmb{S}}+\frac1{2G}{\cal\pmb W}

$ = \frac1{(\mathrm{tr}\bm I)K}\frac1{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\bm I+\frac1{2G}{\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}+\frac1{2G}{\cal\pmb W}

$ =-\frac\nu{E}\bm{I}\bm{I}+\frac{1+\nu}{E}{\cal\pmb{S}}+\frac{1+\nu}{E}{\cal\pmb W}

$ {\cal\pmb C}=\lambda\pmb I\pmb I+2\mu{\cal\pmb I}

物理的な意味はないらしい

解釈を作れないのか？

変換

$ (\nu,G)\mapsto(\lambda,\mu)

$ \lambda=2G\frac{\nu}{1-2\nu}

$ \mu=G

$ (K,G)\mapsto(\lambda,\mu)

$ \lambda=\frac13(3K-2G)

$ \mu=G

$ (E,\nu)\mapsto(\lambda,\mu)

$ \lambda=\frac{E}{1+\nu}\frac{\nu}{1-2\nu}

$ \mu=\frac12\frac{E}{1+\nu}

$ {\cal\pmb C}=\frac13(3K-2G)\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb I}

$ {\cal\pmb C}= \frac133K\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb D}

こっちのほうがきれい

$ \mathrm{tr}\pmb\sigma=3K\mathrm{tr}\pmb\varepsilon

$ \iff\frac13\mathrm{tr}\pmb\sigma=K\mathrm{tr}\pmb\varepsilon

$ {\cal\pmb D}:\pmb\sigma=2G{\cal\pmb D}:\pmb\varepsilon

$ \mathrm{tr}\pmb\sigma=\mathrm{tr}(\lambda(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I+2\mu\pmb\varepsilon)

$ = 3\lambda\mathrm{tr}\pmb\varepsilon+2\mu\mathrm{tr}\pmb\varepsilon

$ = (3\lambda+2\mu)\mathrm{tr}\pmb\varepsilon

$ \implies 3K=3\lambda+2\mu

$ {\cal\pmb D}:\pmb\sigma=\pmb\sigma-\frac13(\mathrm{tr}\pmb\sigma)\pmb I

$ = \lambda(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I+2\mu\pmb\varepsilon-\frac13K(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I

$ = 2\mu\pmb\varepsilon+\left(\lambda-\lambda-\frac23\mu\right)(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I

$ = 2\mu\left(\pmb\varepsilon-\frac13(\mathrm{tr}\pmb\varepsilon)\pmb I\right)

$ = 2\mu{\cal\pmb D}:\pmb\varepsilon

$ \implies G=\mu

$ \therefore\lambda=K-\frac23G

$ {\cal\pmb C}=\frac13(3K-2G)\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb I}

$ =K\pmb I\pmb I+2G\left({\cal\pmb I}-\frac13\pmb I\pmb I\right)

$ = K\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb D}

$ \pmb I:{\cal\pmb C}=K\pmb I+2G\pmb O=K\pmb I

$ {\cal\pmb D}:{\cal\pmb C}=K\pmb O+2G{\cal\pmb D}=2G{\cal\pmb D}

偏差tensorの偏差tensorは偏差tensor

$ {\cal\pmb C}= \frac133K\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb D}

$ {\cal\pmb C}^{-1}= \frac13\frac1{3K}\pmb I\pmb I+\frac1{2G}{\cal\pmb D}

変換

$ (E,\nu)\mapsto(K,G)

$ K=\frac13\frac{E}{1-2\nu}

$ G=\frac12\frac{E}{1+\nu}

特殊な条件

体積圧縮不能

$ \nu=\frac12\implies K_0=1

側方拘束時に等方応力状態になる

$ \nu=\frac12\implies E_c=\infty

側方拘束時、垂直方向にもひずみを発生させられなくなる

事実上の剛体化

変換

$ (K,G)\mapsto(E_c,K_0)

$ E_c=\frac13(3K+4G)

$ K_0=\frac{3K-2G}{3K+4G}

$ (E,\nu)\mapsto(E_c,K_0)

$ E_c=\frac{1-\nu}{1+\nu}\frac{E}{1-2\nu}

$ K_0=\frac{\nu}{1-\nu}

$ E_cK_0=\lambda

$ {\cal\pmb C}^{-1}= \frac1E{\cal\pmb I}+\frac\nu E({\cal\pmb I}-\pmb I\pmb I)

変換

$ (\lambda,\mu)\mapsto(E,\nu)

$ E=\frac{\mu}{\lambda+\mu}(3\lambda+2\mu)

$ =2\mu(1+\nu)

$ \nu=\frac12\frac{\mu}{\lambda+\mu}

$ (K,G)\mapsto(E,\nu)

$ E=\frac{9KG}{3K+G}

$ \nu=\frac{3K-2G}{6K+2G}

$ (E_c,K_0)\mapsto(E,\nu)

$ E=\frac{1-K_0}{1+K_0}(1+2K_0)E_c

$ \nu=\frac{K_0}{1+K_0}

$ 1+\nu=1+\frac{3K-2G}{6K+2G}=\frac{9K}{6K+2G}=\frac92\frac{K}{3K+G}=\frac{E}{2G}

$ 1-\nu=\frac{2G-3K+6K+2G}{6K+2G}=\frac{3K+4G}{6K+2G}=\frac{\nu}{K_0}

$ \frac{1+\nu}{1-\nu}=\frac{EK_0}{2G\nu}=\frac{3K}{E_c}=\frac{9K}{3K+4G}

$ \frac{1-K_0}{1+K_0}(1+2K_0)=\frac{1+K_0-2K_0^2}{1+K_0}=-\frac{2(K_0+1)^2-5(K_0+1)+4}{K_0+1}=2(K_0+1)-5+\frac4{K_0+1}

Reference