一軸変形時の等方弾性体の弾性係数

他の言い方も考えられる

一軸、つまり1方向にしか変形しないと誤解しかねない

Englishでは"unconfined compression"と呼んでいるから、やはり側方解放のほうがしっくりくる

条件

$ \bm\sigma:\hat{\bm s}_0\hat{\bm s}_0=\bm\sigma:\hat{\bm s}_1\hat{\bm s}_1=0

剪断応力は、あってもなくても以下の議論に影響しない

導出

$ \bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}=-\frac{\lambda}{2\mu}\frac{1}{3\lambda+2\mu}({\rm tr}\bm\sigma)+\frac{1}{2\mu}\bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ = \frac{3\lambda+2\mu-\lambda}{2\mu}\frac{1}{3\lambda+2\mu}\bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ \because{\rm tr}\bm\sigma=\bm\sigma:\bm I=\bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ = \frac{\lambda+\mu}{\mu}\frac{1}{3\lambda+2\mu}\bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ \bm\varepsilon:\hat{\bm s}_0\hat{\bm s}_0=-\frac{\lambda}{2\mu}\frac{1}{3\lambda+2\mu}({\rm tr}\bm\sigma)+0=-\frac{\lambda}{2\mu}\frac{1}{3\lambda+2\mu}\bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ \bm\varepsilon:\hat{\bm s}_1\hat{\bm s}_1=-\frac{\lambda}{2\mu}\frac{1}{3\lambda+2\mu}({\rm tr}\bm\sigma)+0

$ =\bm\varepsilon:\hat{\bm s}_0\hat{\bm s}_0

側方方向はどこも等方的なので、同じひずみになる

各応力・ひずみの関係は、以下の2つの弾性率で表せる

$ \bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}=E\bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ E=\frac{\mu}{\lambda+\mu}(3\lambda+2\mu)=\frac{1-K_0}{1+K_0}(1+2K_0)E_c

$ \bm\varepsilon:\hat{\bm s}_0\hat{\bm s}_0=-\nu\bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ \nu=\frac{\frac{\lambda}{2\mu}\frac{1}{3\lambda+2\mu}}{\frac{\lambda+\mu}{\mu}\frac{1}{3\lambda+2\mu}}=\frac12\frac{\mu}{\lambda+\mu}=\frac{K_0}{1+K_0}