側方拘束時の等方弾性体の弾性係数

条件

$ \bm\varepsilon:\hat{\bm s}_0\hat{\bm s}_0=\bm\varepsilon:\hat{\bm s}_1\hat{\bm s}_1=0

剪断成分は、あってもなくても以下の議論に影響しない

導出

$ \bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}=\frac13(3K-2G)({\rm tr}\bm\varepsilon)\bm I:\hat\bm n\hat\bm n+2G\bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ = \frac13(3K-2G)({\rm tr}\bm\varepsilon)+2G\bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ \because \bm I:\hat\bm n\hat\bm n=\hat\bm n\cdot\hat\bm n=1

$ = \frac13(3K+4G)\bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ \because{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\varepsilon:\bm I=\bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ \bm\sigma:\hat{\bm s}_0\hat{\bm s}_0=\frac13(3K-2G)({\rm tr}\bm\varepsilon)+0=\frac13(3K-2G)\bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ \bm\sigma:\hat{\bm s}_1\hat{\bm s}_1=\frac13(3K-2G)({\rm tr}\bm\varepsilon)+0=\bm\sigma:\hat{\bm s}_0\hat{\bm s}_0

側方方向はどこも等方的なので、同じ応力になる

各応力・ひずみの関係は、以下の2つの弾性率で表せる

$ \bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}=E_c\bm\varepsilon:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ E_c:=\frac13(3K+4G)=\frac{1-\nu}{1+\nu}\frac{E}{1-2\nu}

$ \bm\sigma:\hat{\bm s}_0\hat{\bm s}_0=K_0\bm\sigma:\hat{\bm n}\hat{\bm n}

$ K_0:=\frac{3K-2G}{3K+4G}=\frac{\nu}{1-\nu}

弾性係数の導出メモ

$ E_c=\frac13(3K+4G)=\frac13\left(\frac{E}{1-2\nu}+\frac{2E}{1+\nu}\right)

$ =\frac13E\frac{1+\nu+2-4\nu}{1+\nu}\frac{1}{1-2\nu}

$ =\frac{1-\nu}{1+\nu}\frac E{1-2\nu}

$ K_0=\frac{3K-2G}{3K+4G}=\frac{\lambda}{\frac{1-\nu}{1+\nu}\frac{E}{1-2\nu}}=\frac{\frac{E}{1+\nu}\frac{\nu}{1-2\nu}}{\frac{1-\nu}{1+\nu}\frac{E}{1-2\nu}}=\frac{\nu}{1-\nu}

$ E_cK_0=\lambda

$ E_c=\frac{1-\frac{K_0}{1+K_0}}{1+\frac{K_0}{1+K_0}}\frac{E}{1-2\frac{K_0}{1+K_0}}

$ = \frac{1}{1+2K_0}\frac{E(1+K_0)}{1-K_0}

$ \iff E=\frac{1-K_0}{1+K_0}(1+2K_0)E_c

検算

$ \lambda+2G=2G\frac{\nu+1-2\nu}{1-2\nu}=2G\frac{1-\nu}{1-2\nu}=\frac{E}{1+\nu}\frac{1-\nu}{1-2\nu}=E_c