梁の垂直応力分布

Bernoulli-Euler梁にて、$ y軸回りの曲げが存在しないときの$ \sigma_{xx}-yの関係式

$ \sigma_{xx}=\frac{M_c}{I_{cyy}}(y-y_c)+\bar{\sigma}_{xx}

$ M_c:=\int_B(y-y_c)\sigma_{xx}\mathrm dA：断面$ Bにおける図心を通る$ z軸回りの曲げmoment

鉛直下向きに$ y軸をとったとき、下部が引張で上部が圧縮になるような曲げのとき正になるよう定義している

$ y_c:=\frac1B\int_B y\mathrm dA：断面$ Bの図心の$ y成分

$ I_{cyy}:=\int_B(y-y_c)^2\mathrm dA：断面$ Bの図心を通る$ z軸周りの断面2次moment

$ B:=\int_B\mathrm dA：断面$ Bの$ yz平面への投影面積

$ \bar{\sigma}_{xx}:=\frac1B\int_B\sigma_{xx}\mathrm dA：$ \sigma_{xx}の断面平均応力

$ N=\bar{\sigma}_{xx}B($ N：軸力)である

$ y以外全て$ xの函数

断面$ Bも$ xに依存していい

導出

初等梁のたわみの微分方程式の導出の途中式$ \sigma_{xx}=-E(u_y(x,0))''(y-y_c)+\overline{\sigma_{xx}}を使う

これと初等梁のたわみの微分方程式$ M_c=-E(u_y(x,0))''I_{cyy}より

$ \underline{\sigma_{xx}=\frac{M_c}{I_{cyy}}(y-y_c)+\bar{\sigma}_{xx}\quad}_\blacksquare

References

$ \epsilon:=(u_x(x,0,0))',\kappa:=-(u_y(x,0))''の式のみ示されている

これを$ \sigma_{xx}=-E(u_y(x,0))''y+E(u_x(x,0,0))'に代入すると上式を得る