ひずみの三角形分布

初等梁の梁断面の垂直歪$ \varepsilon_{zz}は、$ y軸方向に線型分布している

歪と図心変位の関係式がyについて線型になっていることから直ちに分かる

仮定から丁寧に導出した方がいい

座標設定

棒部材の棒方向にx軸、それと垂直な方向にy軸、$ \pmb e_z=\pmb e_x\times\pmb e_yとなるようにz軸を設定する

棒部材はどの断面でも図心位置が等しいとし、x軸を図心に通す

仮定

$ \varepsilon_{yy}=\varepsilon_{zz}=\varepsilon_{yz}=0ー①

①より

$ \frac{\partial u_y}{\partial y}=\frac{\partial u_z}{\partial z}=0ー②

$ \frac{\partial u_y}{\partial z}=-\frac{\partial u_z}{\partial y}ー③

$ \frac{\partial^2u_y}{{\partial z}^2}=-\frac{\partial^2u_z}{\partial z\partial y}

$ \because③

$ = 0$ \because ②

$ \frac{\partial^2u_z}{{\partial y}^2}=-\frac{\partial^2u_y}{\partial y\partial z}

$ \because③

$ = 0$ \because ②

$ \therefore\begin{dcases}\frac{\partial u_y}{\partial z}=f(x,y)\\\frac{\partial u_z}{\partial y}=g(x,z)\end{dcases}

また③より

$ \therefore\begin{dcases}\frac{\partial u_y}{\partial z}=f(x)\\\frac{\partial u_z}{\partial y}=-f(x)\end{dcases}

$ \therefore\exist f,u_{0y},u_{0x};\begin{dcases}u_y=u_{0y}(x)+f(x)z\\u_z=u_{0z}(x)-f(x)y\end{dcases}

つまり、断面形状不変の仮定は$ \exist f,u_{0y},u_{0x}\in\text{Functions};\begin{dcases}u_y=u_{0y}(x)+f(x)z\\u_z=u_{0z}(x)-f(x)y\end{dcases}と同値であることが示された

$ f(x)は微小回転tensor成分で表せる

$ \xi_{yz}=\frac12\left(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}\right)

$ = \frac12(-f(x)-f(x))

$ = -f(x)

$ \therefore\exist u_{0y},u_{0x}\in\text{Functions};\begin{dcases}u_y=u_{0y}(x)-\xi_{yz}z\\u_z=u_{0z}(x)+\xi_{yz}y\end{dcases}

Reference