歪と図心変位の関係式
$ \gdef\d{\mathrm{d}}\varepsilon_{zz}=\frac{\d u_{cz}}{\d z}-y\frac{\d^2 u_{cy}}{{\d z}^2}
導出
図心の変位$ \pmb{u}_cは、$ (x,y)=(0,0)の地点での変位なので、
$ \pmb{u}_c:z\rightarrow\pmb{u}(0,0,z)
と定義される
簡単のため、以下の記号を定義する
$ \varepsilon_{zz}:=[\pmb{\varepsilon}]^\mathcal{SS}_{zz}
$ u_{cy}:=[\pmb{u}_c]^\mathcal{S}_{y}
$ u_{cz}:=[\pmb{u}_c]^\mathcal{S}_{z}
$ \pmb{u}_c(z)だけ全体が変位した後、図心を中心に梁断面が$ \mathrm{d}\theta(z)だけ回転したと考えれば、$ z での梁断面上の変位$ \pmb{u}(y,z)は $ [\pmb{u}(y,z)]^\mathcal{S}= [\pmb{u}_c(z)]^\mathcal{S}+\begin{pmatrix}0\\0\\y\mathrm{d}\theta(z)\end{pmatrix}
$ \thetaは$ xはもちろん$ yにも依存しない
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もしくは$ \pmb{u}(y,z)=\pmb{u}_c(z)+y\mathrm{d}\theta(z)\pmb{e}_z
これを$ \varepsilon_{zz} \pmb{e}_z\otimes\pmb{e}_z =\frac{1}{2}(\pmb{\nabla}\pmb{u}+\pmb{\nabla}\pmb{u}^\top)に代入する
$ \varepsilon_{zz}\pmb{e}_z\otimes\pmb{e}_z=\frac{1}{2}\pmb{\nabla}(\pmb{u}_c(z)+y\mathrm{d}\theta(z)\pmb{e}_z)+\frac{1}{2}\pmb{\nabla}(\pmb{u}_c(z)+y\mathrm{d}\theta(z)\pmb{e}_z)^\top
$ \implies\begin{dcases}\varepsilon_{zz}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{cz}(z)+y\mathrm{d}\theta(z))\\0=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{cy}(z)}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial y}(u_{cz}(z)+y\mathrm{d}\theta(z))\right)\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}\varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_{cz}(z)}{\partial z}+y\frac{\partial \mathrm{d}\theta(z)}{\partial z}\\0=\frac{\partial u_{cy}(z)}{\partial z}+\mathrm{d}\theta(z)\end{dcases}
$ \implies \varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_{cz}(z)}{\partial z}-y\frac{\partial^2 \partial u_{cy}(z)}{{\partial z}^2}
$ \therefore \gdef\d{\mathrm{d}}\varepsilon_{zz}=\frac{\d u_{cz}}{\d z}-y\frac{\d^2 u_{cy}}{{\d z}^2}
$ \pmb{u}_cは$ zの1変数函数なので、偏微分を常微分に置換できる
引数は省略した
常微分なので何の函数かは分母から自明
Reference