剰余類
residue class
定義
群$ Gと、その部分群$ Hに対し、適当に$ g\in Gを選んだ時の
$ gH=\{gh|h\in H\}のこと
剰余類の同値関係の定義
$ Hを$ Gの部分群、$ x,y\in Gとする
同値関係$ x\sim yを、$ x^{-1}y\in Hで定義している
この定義$ x^{-1}yは実際に反射律、対称律、推移律を満たすmrsekut.icon
この関係を以下の様に式変形できるので、その結果、上のような定義になる
$ C(x)=\{a\in G| x\sim a\}
$ = \{a\in G| x^{-1}a\in H\}
$ =\{xh|h\in H\}
$ =xH
剰余類は一般には部分群ではない
自明だが、剰余類の1つの$ Hは部分群
つまり剰余類の少なくとも1つは部分群になってる
剰余類の性質
剰余類同士の位数は等しくなる
$ |Ha|=|Hb|,(\forall a,b\in G)になる
同じ剰余類に属する元は、準同型によって全て一つの同じ元に移る ref https://gyazo.com/8a3b90a70ef62ffeca17054a97eb59e6
表記
指数$ (G:H)は、$ G/Hや$ G\backslash Hの元の個数 関連
剰余類のどの辺が「剰余」？
名前の意味
参考