同値類と剰余類を見比べる

剰余類は、同値類の群versionなので、同値類を理解してさえいれば、ノリで剰余類も理解できる

そのため、同値類と剰余類を全く同じフォーマットに沿って説明する

全く同じことを言っていることがわかると思う

剰余類は、同値類の具体例の1つなので当たり前ではあるmrsekut.icon

感覚的にわかることを目的とするので、曖昧な表現も含む

以下では剰余類と言うと左剰余類のことを指す

table:対応

同値関係による類別その類別の集合

集合の世界(一般) 同値類商集合

群の世界(具体) 剰余類商集合 →ある条件を加えると、剰余群になる

同値類

集合の世界の話をしている

同値類は、集合$ Sの部分集合である

https://gyazo.com/695f8a731f0f8efa93672b6e77412663

同値類は、集合$ Sを類別している

同値関係$ \simで類別

https://gyazo.com/5e05e7dffff2b70deae79b54de9ef9e0

定義を書くと、

$ x\in Sに対し、

$ C(x)=\{y\in S|y\sim x\}　

同値類の和集合は$ Sになる

$ S=C(x)\cup C(y)\cup C(z)+\cdots

剰余類と異なる点

同値類同士の位数は、異なることもある

同値類の集合を商集合と呼ぶ

元は同値類$ C

$ S/\simと表記する

つまり、$ S/\sim =\{C(x),C(y),C(z,\cdots)\}

剰余類

群の世界の話をしている

剰余類は、群$ Gの部分集合である

https://gyazo.com/631d7250b2f5658a3173d94ac10bb318

剰余類は、群$ Gを類別している

同値関係$ \simで類別

$ x\sim yを$ x^{-1}y\in Hで定義している

https://gyazo.com/9fb2d629d5a67b841c04313c157c4bc7

定義を書くと、

$ x\in Sに対し、

$ C(x)=\{a\in G| x\sim a\}　

$ = \{a\in G| x^{-1}a\in H\}

$ =\{xh|h\in H\}

$ =xH

剰余類の和集合は$ Gになる

$ G=H\cup xH\cup yH+zH\cup\cdots

$ C(1_GH)=Hmrsekut.icon

同値類と異なる点、あるいは、剰余類の性質

剰余類同士の位数は、等しい

「すごく良い類別である」ことがわかるmrsekut.icon

部分群$ H自身を含む

$ 1_GH

https://gyazo.com/332c2043e455fb9a6dee8c990426a310

剰余類の集合を商集合と呼ぶ

元は剰余類$ xH

$ G/Hと表記する

つまり、$ G/H=\{H, xH,yH,zH,\cdots\}

一般に、これだけでは群にはなっていないmrsekut.icon

$ Hが正規部分群の時、この商集合は群になる

これを剰余群と呼ぶ

$ G/H=\{H, xH,yH,zH,\cdots\}は剰余群

$ Hが正規部分群のとき。