正規部分群
normal subgroup
$ gH=Hgが成り立つような群$ Gの部分群$ Hのこと
$ \forall g\in G
$ H\triangleleft Gまたは$ G\triangleright Hと表記する
もともと部分群を$ H\le Gのように書くので、そこに縦線1本足した感じmrsekut.icon
定義
全ての$ g\in G,h\in Hに対し、$ g^{-1}hg\in Hとなるとき
$ Hを$ Gの正規部分群という
$ \forall g\in Gに対し、$ g^{-1}Hg\in Hと言っても同じこと
$ gH=Hgと言っても同じこと
これが一番わかりやすいmrsekut.icon
以下が成り立つときも$ Hは正規部分群
$ \forall a,a',b,b'\in Gに対し、
$ Ha=Ha',Hb=Hb'\Rightarrow Hab=Ha'b'
$ gH=Hgの意味
$ gHも$ Hgも集合である
つまり$ gH=Hgは集合同士の同値性を主張している
両辺の$ gは同じものだが、$ h\in Hは別物でも成り立つことを表している
例えば$ gh_1=h_3gみたいな
集合全体で何かしら対応があればいい
アーベル群の部分集合は全て正規部分群になるが、これは自然に$ gh_n=h_ngが成り立つパターン 「何かしらの対応」が自然に決まる
何が嬉しいのか
剰余類は群を類別したものの集合で、
つまり集合の集合であった
この集合同士の間に演算を定義できれば面白いんじゃないか？という発想
そうすれば、ただの集合の集合だったものが、集合の群に昇格する
そこで、集合同士の演算をどうにか定義したいという話になる
$ a,b\in Gに対し、$ aH, bHという2つの集合を演算して、$ abHにしたい、と考える
$ (aH)(bH)\stackrel{\mathrm{def}}{=}abH
この定義は、代表元$ a,bの取り方に依らないことが要請される
そのためには、$ aH=Hbのような制限が必要になる
普通は(?)、逆の流れで説明されるので分かりづらい
正規部分群があると、well-definedに集合の演算が定義できますよ、という流れ
正規部分群の例
$ G自身も正規部分群
『代数学 1 群論入門』.icon p.56-に載ってる
参考