部分群
群の元の集合の部分集合が群の公理を満たしていれば部分群になる
以下の２つを「自明な部分群」という
最小の部分群は$ 1_G
最大の部分群は$ Gそのもの
全ての群$ Gに対し、絶対に存在するから
存在するかどうかは群による
$ H\le Gと表記する
$ Gを群、$ H\subset Gが以下を満たすとき$ Hは$ Gの部分群となる $ a,b\in H\Rightarrow ab\in H
演算が閉じている
$ a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H
逆元が存在する
結合律については、部分集合の時点で自動的に成り立つのでわざわざ明示しなくていい
単位元については上２つを使い$ b=a^{-1}とすれば導出できる
$ a,b\in H\Rightarrow a^{-1}b\in H
途中を書くと$ a,b\in H\Rightarrow a^{-1},b\in H\Rightarrow a^{-1}b\in H
部分群の例
『代数学 1 群論入門』.icon p.30
参考